СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505703

В окружность радиуса R вписан треугольник ABC. Вторая окружность радиуса r, концентрическая с первой, касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух других сторон на три равные части.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите

 

Пояснение: концентрические окружности — это окружности, у которых совпадают центры.

Решение.

а) Так как центр окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, то точка H является серединой стороны BC. Обозначим BH = HC = a, AK = KL = LB = x, AM = MN = NC = y. Из свойств касательной и секущей получаем:

Получили, что AB = 3x = AC, то есть треугольник ABC — равнобедренный. Заодно получается, что точки A, O и H лежат на одной прямой.

Что и требовалось доказать.

б) Из пункта а) известно, что , откуда Выразим различными способами площадь треугольника ABC.

- Через основание и высоту:

Через все стороны и радиус описанной окружности:

По формуле Герона:

где

то есть:

Приравнивая второй и третий результат (и подставляя ), получим:

Теперь приравняем первое и второе выражения для площади, откуда получим:

 

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 58.