СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505707

В пирамиде SABC ребра SC, и AC равны соответственно 3 и 4. Известно, что угол ABC тупой, ребро SC перпендикулярно к плоскости основания ABC, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S, точку пересечения медиан треугольника ABC и центр окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение.

Введём обозначения. Пусть: MN — прямая, проходящая через точку O — центр окружности, вписанной в и точку O1 — точку пересечения медиан треугольника, R — радиус окружности, описанной около r — радиус окружности, вписанной в

В по теореме синусов имеем: Далее:

По теореме косинусов: Пусть тогда: x = 2 или (не подходит). Итак, AB = 2. Поскольку AB в 2 раза меньше, чем АС, то в соответствии с теоремой синусов

Это значит, что расстояние от центра окружности, вписанной в до каждой стороны составляет

Как известно, в произвольном треугольнике медианы, пересекаясь в одной точке, делятся в отношении 2:1 и разбивают треугольник на 6 равновеликих треугольников. Следовательно,

Найдем высоту проведенную к стороне BC:

Таким образом, точки O и O1 находятся на одинаковом расстоянии от прямой BC. Поскольку — разносторонний, то точки O и O совпасть не могут. А это значит, что MN || BC. Следовательно, коэффициент подобия Отсюда:

По условию задачи Следовательно, Тогда по теореме Пифагора будем иметь:

Впо теореме косинусов:

Итак, все стороны треугольника-сечения найдены. Покажем, что — тупоугольный. Для этого достаточно доказать, что

Действительно,

Теперь наша задача найти высоту проведенную к продолжению стороны MN. Пусть E — основание высоты, SE = h, NE = x.

Дважды применяя теорему Пифагора, найдем:

Отсюда:

Тогда

Ответ:

 

Замечания:

Приведём другой подход нахождения основания пирамиды:

В по теореме синусов имеем:

Далее:

По теореме косинусов: Пусть AB = x, тогда:

x = 2 или (не подходит). Итак, AB = 2. Поскольку AB в 2 раза меньше, чем АС, то в соответствии с теоремой синусов

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 59.