СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505733

В треугольнике АВС основание ВС = 9,5, площадь треугольника равна 28,5. Окружность, вписанная в треугольник, касается средней линии, параллельной основанию.

а) Докажите, что АС + АВ = 3ВС.

б) Найдите меньшую из боковых сторон.

Решение.

а) Пусть Известно, что в четырехугольник можно вписать окружность в том и только в том случае, если суммы противолежащих сторон этого четырехугольника равны. Следовательно, MN + BC = AM + CN. Поскольку по условию задачи MN — средняя линия треугольника АВС, то Тогда ВM + CN = BC + MN = 9,5 + 4,75 = 14,25. В таком случае также будет выполнено условия: АМ + АN = 14,25, АВ + АС = 2 · 14,25 = 28,5.

Заметим, что 3BC=3 · 9,5=28,5. Значит, АВ + АС = 3. Это и требовалось доказать.

б) Проведем высоту Пусть AC = x, тогда В 

По теореме косинусов будем иметь: ;

(не подходит, так как 28,5 − 18,5 = 10, в таком случае 18,5 не есть дина меньшей из боковых сторон).

Примечание:

К такому же результату можно прийти и таким образом:

Пусть АС = х, СН = у. Тогда

В прямоугольных треугольниках AHC и AHBпо теореме Пифагора будем иметь:

Решим второе уравнение системы относительно y с учётом первого уравнения.

Подставляя полученное значение у в первое уравнение системы, получим:

(не подходит, так как 28,5 - 18,5 = 10, в таком случае 18,5 не есть дина меньшей из боковых сторон) .

 

Ответ: 10.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 63.