СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505749

В пирамиде SLMN даны рёбра LM = 5, MN = 9, NL = 10. Сфера радиуса касается плоскости основания LMN и боковых рёбер пирамиды. Точки касания делят эти рёбра в равных отношениях, считая от вершины S. Найти объём пирамиды.

Решение.

Рассмотрим треугольники с вершинами в центре сферы,вершине и точках касания сферы с боковыми ребрами. Они все равны по гипотенузе (общей) и катету (радиусу), поэтому у них равны и расстояния от точек касания до Из условия о равенстве отношений получаем, что боковые ребра пирамиды равны. Следовательно, ее высота падает в центр H описанной окружности основания.

Пусть это отношение было равно Продолжим луч O (O — центр сферы) и отметим точку так, чтобы Тогда перпендикуляры из на боковые ребра будут падать в то есть точка равноудалена от них. Поэтому ее проекция на плоскость — центр описанной окружности треугольника Следовательно, O лежит на Тогда

Рассмотрим треугольник SHN. Пусть тогда (поскольку O равноудалена от ON и SN, она лежит на биссектрисе угла). Тогда

, ,

и

 

Ответ:

 

Приведем другое решение.

 

Пусть сфера касается боковых ребер SL, SM, SN пирамиды в точках P, Q, T соответственно. O — центр сферы.

Тогда у пирамиды OPQT с основанием PQT боковые ребра равны как радиусы сферы. А значит, вершина O проектируется в центр описанной окружности (назовем K) около основания (действительно, прямоугольные треугольники PKO, QKO, TKO равны по гипотенузе и катету, а значит точка K равноудалена от каждой вершины основания PQT).

Но ведь тогда и, в обратную сторону, в пирамиде SPQT боковые ребра равны, раз ее вершина S спроектировалась в центр описанной окружности около основания.

А поскольку по условию точки касания сферы делят боковые ребра пирамиды в равных отношениях, считая от вершины S, то и LS = MS = NS, а также S проектируется в центр описанной окружности около треугольника LMN.

Ну и поскольку плоскости (PQT), (LMN) параллельны, то и точки S, K, O, H лежат на одной прямой.

Найдем радиус описанной окружности около основания LMN пирамиды SLMN, а так же площадь основания пирамиды.

По формуле Герона где имеем:

Тогда, пользуясь формулой нахождения радиуса описанной окружности около треугольника с площадью S и сторонами a, b, с: имеем:

Обратимся к прямоугольному треугольнику SMH. Как мы знаем, радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости, то есть OQ ꓕ SM. Тогда из равенства треугольников OMH и OMQ (по гипотенузе у катету) следует, что OM — биссектриса угла SMH.

Пусть Из треугольника OMH имеем:

Из треугольника SMH:

Как только мы найдем — мы будем знать высоту пирамиды (площадь основания мы уже знаем), тогда и объем будет найден.

Если не помним формулу двойного угла для тангенса, — не проблема. Можно например, изначально было обратиться не к а к предварительно найдя OM по теореме Пифагора.

Итак,

Наконец, из треугольника SMH:

Тогда

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 66.
Классификатор стереометрии: Вписанный шар, Деление отрезка, Объем тела, Построения в пространстве, Треугольная пирамида, Шар