Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505751

Площадь треугольника ABC равна 10; площадь треугольника AHB, где H — точка пересечения высот, равна 8. На прямой CH взята такая точка K, что треугольник ABK — прямоугольный.

а) Докажите, что S в степени 2 _{ABK}=S_{ABC} умножить на S_{AHB}.

б) Найдите площадь треугольника ABK.

Решение.

а) Заметим, что \angle KBA не равно 90 в степени circ, \angle KAB не равно 90 в степени circ, поскольку тогда KB\parallel SC или KA\parallel SC как перпендикуляры к одной прямой. Значит, \angle BKA=90 в степени circ. Обозначим основания высот треугольника ABC за A_1, B_1, C_1. Тогда точки K, B, A, A1, B1 лежат на окружности с диаметром AB (из-за прямых углов). заметим, что C_1 — основание перпендикуляра из K на AB.

Перепишем требуемое утверждение:

S_{ABK в степени 2 }=S_{ABC} умножить на S_{AHB} равносильно AB в степени 2 умножить на KC_1 в степени 2 =AB умножить на CC_1 умножить на AB умножить на HC_1 равносильно

 равносильно KC_1 в степени 2 =CC_1 умножить на HC_1 равносильно BC_1 умножить на AC_1=CC_1 умножить на HC_1 равносильно дробь, числитель — C_1H, знаменатель — AC_1 = дробь, числитель — BC_1, знаменатель — CC_1 .

Это верно из-за подобия треугольников AHS и CBS по двум углам: действительно, \angle ASH=\angle CSB=90 в степени circ, \angle AHS=90 в степени circ минус \angle HAS=90 в степени circ минус \angle A_1AB=\angle CBA.

б) Из пункта а) следует, что S_{ABK}= корень из { 8 умножить на 10}=4 корень из { 5}.

 

Ответ: 4 корень из { 5}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 66.
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники