Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505763

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, равны 0,6 и 0,8.

а) Докажите подобие треугольников ACD и BCD, ACD и ABC.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение.

а) Пусть в прямоугольном треугольнике ABC проведена высота к гипотенузе CD. Треугольники ACD и ABC подобны по двум углам (\angle A общий, \angle ADC=\angle ACB=90 в степени circ) с коэффициентом  дробь, числитель — AC, знаменатель — AB , и в таком же отношении находятся их радиусы вписанных окружностей.

По тем же причинам подобны треугольники BCD и ABC (\angle B общий, \angle BDC=\angle ACB=90 в степени circ). Значит, и треугольники ACD и BCD подобны.

б) Как следует из первого пункта, в треугольниках ACD, BCD, ABC одинаково отношение гипотенузы к радиусу вписанной окружности. Обозначим это отношение за x. Тогда AC=0.6x, BC=0.8x. Тогда по теореме Пифагора AB=x, откуда r_{ABC}=1.

 

Ответ: 1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 68.
Классификатор планиметрии: Окружность, вписанная в треугольник, Треугольники