СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505765

Име­ет­ся семь ста­ка­нов с водой: пер­вый ста­кан за­пол­нен водой на­по­ло­ви­ну, вто­рой — на треть, тре­тий — на чет­верть, чет­вер­тый — на одну пятую, пятый — на одну вось­мую, ше­стой — на одну де­вя­тую, и седь­мой — на одну де­ся­тую. Раз­ре­ша­ет­ся пе­ре­ли­вать всю воду из од­но­го ста­ка­на в дру­гой или пе­ре­ли­вать воду из од­но­го ста­ка­на в дру­гой до тех пор, пока он не за­пол­нит­ся до­вер­ху. Может ли после не­сколь­ких пе­ре­ли­ва­ний какой‐ни­будь ста­кан ока­зать­ся за­пол­нен­ным

а) на одну две­на­дца­тую;

б) на одну ше­стую?

Ре­ше­ние.

а) Если вме­сти­мость ста­ка­на счи­тать рав­ной 1, то в пер­вых трех ста­ка­нах в сумме 1 и 1/12 воды. Пе­ре­льем в пер­вый ста­кан всю воду из вто­ро­го, а затем из тре­тье­го, пока пер­вый не за­пол­нит­ся. После этого в тре­тьем ста­ка­не ока­жет­ся 1/12.

б) До­ка­жем ин­дук­ци­ей по ко­ли­че­ству пе­ре­ли­ва­ний, что ко­ли­че­ство воды в не­пу­стом ста­ка­не после пе­ре­ли­ва­ний есть либо 1, либо дроб­ная часть суммы не­ко­то­рых из чисел 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/8, 1/9, 1/10, при этом в раз­ных ста­ка­нах в сум­мах участ­ву­ют не­по­вто­ря­ю­щи­е­ся числа. База ин­дук­ции верна. Пусть в ста­ка­нах A и B ко­ли­че­ство воды равно a и b со­от­вет­ствен­но. Если из ста­ка­на A в ста­кан B пе­ре­ли­ва­ет­ся вся вода, то новые ко­ли­че­ства со­став­ля­ют 0 и a + b, а если ста­кан B на­пол­ня­ет­ся из A до­вер­ху, то a + b − 1 и 1. Те­перь ясно, что утвер­жде­ние оста­лось ис­тин­ным.

Пусть 1/6 = a1 +...+ ak , где ak – не­ко­то­рые из чисел 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/8, 1/9, 1/10.

По­ка­жем, что в этой сумме нет чисел 1/4, 1/5, 1/8, 1/9, 1/10. Дей­стви­тель­но, легко про­ве­рить, что если там при­сут­ству­ет хотя бы одно из чисел 1/5 или 1/10 , одно из чисел 1/4 или 1/8 , или число 1/9 , то зна­ме­на­тель по­лу­чив­шей­ся дроби де­лит­ся на 5, 4 или 9 со­от­вет­ствен­но. В то же время число 6 не де­лит­ся ни на одно из этих чисел. Из чисел же 1/2 и 1/3 не­воз­мож­но сло­же­ни­ем по­лу­чить число с дроб­ной ча­стью 1/6 .

 

Ответ: а) да; б) нет.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 68.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи