Угол наклона всех боковых граней пирамиды SABC одинаков и равен 
Основанием пирамиды являются прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.
а) Докажите, что проекцией вершины пирамиды на плоскость основания является центр вписанной окружности треугольника ABC.
б) Найти боковую поверхность пирамиды, если 
а радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 1.
а) Пусть проекция точки S на плоскость основания это точка H. Опустим из точки S перпендикуляры 
на стороны треугольника ABC. По теореме о трех перпендикулярах 
-- тоже перпендикуляры к сторонам треугольника. А из условия равенства двугранных углов при основании пирамиды получаем, что треугольники SKH, SLH, SMH равны, поэтому 
, а значит H -- центр вписанной в ABC окружности.
б) Как известно, если фигура 
является проекцией фигуры 
то 
Спроектируем боковые грани пирамиды на плоскость ее основания. Они покроют основание, а площади их проекций будут меньше площадей исходных граней в 
Поэтому искомая боковая поверхность равна 
Осталось найти площадь основания. Обозначим катеты основания пирамиды за a и b. Тогда 
и 
(теорема Пифагора и формула для радиуса вписанной окружности).
Из второго уравнения получим 
умножая на 2 и складывая с первым, получим
откуда 
Тогда
и 
Тогда площадь боковой поверхности равна 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |