Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 505773

Угол наклона всех боковых граней пирамиды SABC одинаков и равен \arctg корень из 2 . Основанием пирамиды являются прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.

а) Докажите, что проекцией вершины пирамиды на плоскость основания является центр вписанной окружности треугольника ABC.

б) Найти боковую поверхность пирамиды, если AB= корень из 5 , а радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 1.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть проекция точки S на плоскость основания это точка H. Опустим из точки S перпендикуляры SK, SL, SM на стороны треугольника ABC. По теореме о трех перпендикулярах HK, HL, HM -- тоже перпендикуляры к сторонам треугольника. А из условия равенства двугранных углов при основании пирамиды получаем, что треугольники SKH, SLH, SMH равны, поэтому HK=HL=HM, а значит H -- центр вписанной в ABC окружности.

б) Как известно, если фигура B \subset бета является проекцией фигуры A \subset альфа , то  дробь: числитель: S_A, знаменатель: S_B конец дроби = косинус ( альфа , бета ).

Спроектируем боковые грани пирамиды на плоскость ее основания. Они покроют основание, а площади их проекций будут меньше площадей исходных граней в  косинус \arctg корень из (2) = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (3) конец дроби . Поэтому искомая боковая поверхность равна  корень из (3) S_ABC.

Осталось найти площадь основания. Обозначим катеты основания пирамиды за a и b. Тогда a в квадрате плюс b в квадрате =5 и  дробь: числитель: ab, знаменатель: a плюс b плюс корень из (5) конец дроби =1 (теорема Пифагора и формула для радиуса вписанной окружности).

Из второго уравнения получим ab=a плюс b плюс корень из (5) , умножая на 2 и складывая с первым, получим

(a плюс b) в квадрате =2(a плюс b) плюс 5 плюс 2 корень из (5) , (a плюс b плюс корень из (5) )(a плюс b минус 2 минус корень из (5) )=0,

откуда a плюс b=2 плюс корень из (5) . Тогда

ab=2 плюс 2 корень из (5) и S_ABC=1 плюс корень из (5) .

Тогда площадь боковой поверхности равна  корень из (3) (1 плюс корень из (5) ).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 70.
Классификатор стереометрии: Площадь поверхности, Треугольная пирамида