Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д5 C1 № 505778

а) Решите уравнение синус 8 Пи x плюс 1= косинус 4 Пи x плюс корень из { 2} косинус левая круглая скобка 4 Пи x минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка .

б) Найдите все корни на промежутке [2 минус корень из { 7}; корень из { 7} минус 2].

Решение.

а) Пусть t=4 Пи x, тогда уравнение будет иметь вид:

синус 2t плюс 1= косинус t плюс корень из { 2} косинус левая круглая скобка t минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка .

Преобразуем выражение корень из { 2} косинус левая круглая скобка t минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка :

корень из { 2} косинус левая круглая скобка t минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка = корень из { 2} косинус t умножить на косинус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс корень из { 2} синус t умножить на синус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 = корень из { 2} косинус t умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 2 } плюс корень из { 2} синус t умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 2 }= косинус t плюс синус t.

 

синус 2t плюс 1= косинус t плюс корень из { 2} косинус левая круглая скобка t минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 правая круглая скобка равносильно 2 синус t умножить на косинус t плюс 1=2 косинус t плюс синус t равносильно

 

равносильно (2 синус t умножить на косинус t минус 2 косинус t) минус ( синус t минус 1)=0 равносильно 2 косинус t умножить на ( синус t минус 1) минус ( синус t минус 1)=0 равносильно

 

равносильно ( синус t минус 1) умножить на (2 косинус t минус 1)=0 равносильно совокупность выражений новая строка синус t=1, новая строка косинус t= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка t= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка t=\pm дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .

Перейдем к переменной x:

4 Пи x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс 2 Пи n,n принадлежит Z равносильно x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 n,n принадлежит Z ;

 

4 Пи x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи n,n принадлежит Z равносильно x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 12 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 n,n принадлежит Z ;

 

4 Пи x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи n,n принадлежит Z равносильно x= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 12 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 n,n принадлежит Z .

б) Найдем искомые корни. Ясно, что 0 меньше корень из { 7} минус 2 меньше 1, соответственно минус 1 меньше 2 минус корень из { 7} меньше 0.

Если n=0, то {{x}_{1}}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 ; {{x}_{2,3}}=\pm дробь, числитель — 1, знаменатель — 12 ; если n=1, то {{x}_{4}}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 .

Докажем, что дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 меньше корень из { 7} минус 2:

дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 меньше корень из { 7} минус 2 равносильно 5 меньше 8 корень из { 7} минус 16 равносильно 21 меньше 8 корень из { 7} равносильно 441 меньше 64 умножить на 7 равносильно 441 меньше 448 (неравенство очевидное).

{{x}_{5}}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 12 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 7, знаменатель — 12 . дробь, числитель — 7, знаменатель — 12 меньше корень из { 7} минус 2. Докажем это:

7 меньше 12 корень из { 7} минус 24 равносильно 31 меньше 12 корень из { 7} равносильно 961 меньше 144 умножить на 7 равносильно 961 меньше 1008 (неравенство очевидное).

{{x}_{6}}= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 12 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 5, знаменатель — 12 .

Поскольку дробь, числитель — 7, знаменатель — 12 меньше корень из { 7} минус 2, то очевидно, что дробь, числитель — 5, знаменатель — 12 меньше корень из { 7} минус 2.

Корни при n больше или равно 2 будут большими, чем 1. Следовательно, при таких значениях n поиски корней не имеют смысла.

Если n= минус 1, то {{x}_{7}}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 = минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 . минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 больше 2 минус корень из { 7}. Докажем:

минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 больше 2 минус корень из { 7} равносильно дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 меньше корень из { 7} минус 2.

Выше было доказано, что дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 меньше корень из { 7} минус 2, значит, дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 меньше корень из { 7} минус 2. {{x}_{8}}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 12 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 = минус дробь, числитель — 5, знаменатель — 12 . Истинность неравенства минус дробь, числитель — 5, знаменатель — 12 больше 2 минус корень из { 7} следует из истинности выше доказанного неравенства дробь, числитель — 5, знаменатель — 12 меньше корень из { 7} минус 2. {{x}_{9}}= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 12 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 = минус дробь, числитель — 7, знаменатель — 12 . Истинность неравенства минус дробь, числитель — 7, знаменатель — 12 больше 2 минус корень из { 7} следует из истинности неравенства дробь, числитель — 7, знаменатель — 12 меньше корень из { 7} минус 2, также доказанной выше. При n меньше или равно 2 корни будут меньшими, чем −1, следовательно, при таких значениях n поиски корней не имеют смысла.

 

Ответ: а) дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 n,n принадлежит Z ; x=\pm дробь, числитель — 1, знаменатель — 12 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 n,n принадлежит Z . б) \pm дробь, числитель — 1, знаменатель — 12 ; \pm дробь, числитель — 5, знаменатель — 12 ; \pm дробь, числитель — 7, знаменатель — 12 ; минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 ; дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 ; дробь, числитель — 5, знаменатель — 8 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 71.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Введение вспомогательного угла, Введение замены, Группировка, Тригонометрические формулы суммы и разности функций
Спрятать решение · · Курс 80 баллов ·