Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C3 № 505780

Решите систему неравенств:  система выражений  новая строка \left| {{2} в степени x плюс 2 } минус 5 | плюс \left| {{2} в степени x плюс 1 } минус 3 | меньше или равно \left| 6 умножить на {{2} в степени x } минус 8 |,  новая строка {{\log }_{2{{x} в степени минус 1 }}}(4{{x} в степени 2 }) меньше или равно 1. конец системы .

Решение.

Преобразуем первое неравенство:

\left| {{2} в степени x плюс 2 } минус 5 | плюс \left| {{2} в степени x плюс 1 } минус 3 | меньше или равно \left| 6 умножить на {{2} в степени x } минус 8 | равносильно \left| 4 умножить на {{2} в степени x } минус 5 | плюс \left| 2 умножить на {{2} в степени x } минус 3 | меньше или равно \left| 6 умножить на {{2} в степени x } минус 8 |.

Пусть 4 умножить на {{2} в степени x } минус 5=a,2 умножить на {{2} в степени x } минус 3=b, тогда заданное неравенство будет иметь вид: |a| плюс |b| меньше или равно |a плюс b|. Известно, что для любых действительных чисел a и b выполняется неравенство треугольника: |a| плюс |b| больше или равно |a плюс b|. Следовательно, в нашем случае рассматриваемое неравенство будет иметь место только в том случае, если выполняется равенство |a| плюс |b|=|a плюс b|. Но такое возможно, при одном условии: либо a и b оба неотрицательны, либо оба неположительны, т. е. справедливо неравенство ab больше или равно 0.

Решим неравенство  левая круглая скобка 4 умножить на {{2} в степени x } минус 5 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 умножить на {{2} в степени x } минус 3 правая круглая скобка больше или равно 0:

 левая круглая скобка {{2} в степени x } минус дробь, числитель — 5, знаменатель — 4 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка {{2} в степени x } минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений  новая строка {{2} в степени x } меньше или равно 1,25,  новая строка {{2} в степени x } больше или равно 1,5 конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка {{2} в степени x } меньше или равно {{2} в степени {{\log _{2}}1,25}},  новая строка {{2} в степени x } больше или равно {{2} в степени {{\log _{2}}1,5}} конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка x меньше или равно {{\log }_{2}}1,25,  новая строка x больше или равно {{\log }_{2}}1,5. конец совокупности .

Итак, решениями первого неравенства системы являются элементы множества  левая круглая скобка минус принадлежит fty ;{{\log }_{2}}1,25 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка {{\log }_{2}}1,5; плюс принадлежит fty правая круглая скобка .

Решим второе неравенство системы. Перейдем в логарифмах к основанию 2.

 дробь, числитель — {{\log }_{2}}(4{{x} в степени 2 }), знаменатель — {{\log _{2}} левая круглая скобка дробь, числитель — 2, знаменатель — x правая круглая скобка } меньше или равно 1 равносильно дробь, числитель — {{\log }_{2}}4 плюс 2{{\log }_{2}}x, знаменатель — {{\log _{2}}2 минус {{\log }_{2}}x} меньше или равно 1 равносильно дробь, числитель — 2{{\log }_{2}}x плюс 2, знаменатель — {{\log _{2}}x минус 1} плюс 1 больше или равно 0 равносильно

 равносильно дробь, числитель — 2{{\log }_{2}}x плюс 2 плюс {{\log }_{2}}x минус 1, знаменатель — {{\log _{2}}x минус 1} больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — 3{{\log }_{2}}x плюс 1, знаменатель — {{\log _{2}}x минус 1} больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — 3{{\log }_{2}}x плюс 1, знаменатель — {{\log _{2}}x минус 1} больше или равно 0 равносильно совокупность выражений  новая строка {{\log }_{2}}x меньше или равно минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 ,  новая строка {{\log }_{2}}x больше 1 конец совокупности . равносильно

 

 равносильно совокупность выражений  новая строка {{\log }_{2}}x меньше или равно {{\log }_{2}}{{2} в степени минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 },  новая строка {{\log }_{2}}x больше {{\log }_{2}}2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка 0 меньше x меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из [ 3]{2 },  новая строка x больше 2. конец совокупности .

Таким образом, решения второго неравенства системы – множество  левая круглая скобка 0; дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из [ 3]{2 } правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс принадлежит fty правая круглая скобка .

Найдем пересечение решений обоих неравенств. Но прежде докажем неравенство {{\log }_{2}}1,5 меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из [ 3]{2 }.

Для доказательства неравенства {{\log }_{2}}1,5 меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из [ 3]{2 } достаточно показать, что {{\log }_{2}}1,5 меньше дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 и  дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из [ 3]{2 } больше дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 .

{{\log }_{2}}1,5 меньше дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 равносильно {{\log }_{2}} дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 меньше {{\log }_{2}}{{2} в степени дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 } равносильно дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 меньше корень из [ 5]{8} равносильно дробь, числитель — 243, знаменатель — 32 меньше 8 равносильно 243 меньше 256 (получили очевидное неравенство).

 

 дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из [ 3]{2 } больше дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 равносильно дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 больше дробь, числитель — 27, знаменатель — 125 равносильно 125 больше 54 (неравенство очевидное).

Значит, {{\log }_{2}}1,5 меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из [ 3]{2 }.

Итак, решения системы — множество  левая круглая скобка 0;{{\log }_{2}}1,25 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка {{\log }_{2}}1,5; дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из [ 3]{2 } правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс принадлежит fty правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка 0;{{\log }_{2}}1,25 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка {{\log }_{2}}1,5;  дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из [ 3]{2 } правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс принадлежит fty правая круглая скобка .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 71.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Системы уравнений, Уравнение с модулем
Классификатор базовой части: 2.1.5 Показательные уравнения, 2.1.6 Логарифмические уравнения