Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505781

Диаметр AB и хорда CD окружности пересекаются в точке E, причём CE = DE. Касательные к окружности в точках B и C пересекаются в точке K. Отрезки AK и CE пересекаются в точке M.

а) Докажите подобие треугольников ACE и OKB, где O — центр данной окружности.

б) Найдите площадь треугольника CKM, если AB = 10, AE = 1.

Решение.

а) В равнобедренном треугольнике OCD отрезок OE является медианой, следовательно, и высотой. То есть AB\perp CD. Отметим на продолжении луча KC за точку C произвольную точку L. Тогда треугольник ACD также равнобедренный, в нем медиана совпадает с высотой. Значит, AC=AD, тогда и соответствующие дуги равны. Тогда \angle DCA\angle LCA, поскольку один из них вписанный, опирающийся на дугу AD, а второй — угол между касательной и хордой, стягивающей дугу AC.

Заметим далее, что \angle BKL=\angle BCL как соответственные углы при пересечении параллельных прямых KB и CD (они обе перпендикулярны AB) секущей KL. Кроме того KO — биссектриса угла BKC, потому что проходит через центр окружности, а стороны угла — касательные из одной точки. Поэтому \angle BKO= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 \angle BKC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 \angle ECL=\angle ECA, откуда прямоугольные треугольники BKO и ECA подобны по двум углам.

б) Радиус окружности равен 5. Тогда OE=5 минус 1=4. Из треугольника OEC находим EC= корень из { 5 в степени 2 минус 4 в степени 2 }=3. Тогда BK=3 умножить на дробь, числитель — BO, знаменатель — EA =15.

Треугольники BKA и EMA подобны с коэффициентом  дробь, числитель — BA, знаменатель — EA =10, откуда MA=1,5, CM=3 минус 1,5=1,5.

S_{CKM}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на CM умножить на d(K,CM)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 умножить на d(B,CD)= дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 умножить на BE= дробь, числитель — 27, знаменатель — 4 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 27, знаменатель — 4 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 71.
Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окружности