Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 505782

Найдите все значения параметра a, при которых функция

f(x)= синус 2x минус 8(a плюс 1) синус x плюс (4a в степени 2 плюс 8a минус 14)x

является возрастающей на всей числовой прямой и при этом не имеет критических точек.

Решение.

Возьмем производную этой функции (она должна быть всюду положительна).

2 косинус 2x минус 8(a плюс 1) косинус x плюс (4a в степени 2 плюс 8a минус 14) больше 0

Обозначим  косинус x=t,  минус 1 меньше или равно t меньше или равно 1.

4t в степени 2 минус 2 минус 8(a плюс 1)t плюс (4a в степени 2 плюс 8a минус 14) больше 0.

 

t в степени 2 минус 2(a плюс 1)t плюс (a в степени 2 плюс 2a минус 4) больше 0

(t минус a минус 1) в степени 2 минус 5 больше 0

|t минус a минус 1| больше корень из { 5}

Это неравенство должно выполняться при всех t из отрезка [ минус 1;1].

Если  минус 2 меньше или равно a меньше или равно 0, то неравенство не выполняется, например, при t=0.

Если a больше 0, то t минус a минус 1 меньше 0 при всех t из отрезка [ минус 1;1] и |t минус a минус 1|=a плюс 1 минус t, поэтому нужно, чтобы a больше корень из { 5}.

Если a меньше минус 2, то t минус a минус 1 больше 0 при всех t из отрезка [ минус 1;1] и |t минус a минус 1|=t минус a минус 1, поэтому нужно, чтобы a меньше минус корень из { 5} минус 2.

 

Ответ: a меньше минус корень из { 5} минус 2 или a больше корень из { 5}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 71.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Функции, зависящие от параметра