СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505783

а) Дано шесть натуральных чисел. Все они различны и дают в сумме 22. Найти эти числа.

б) Докажите, что других таких чисел нет.

в) Тот же вопрос про 100 чисел, дающих в сумме 5051.

Решение.

Расположим числа в порядке возрастания. Тогда очевидно, что каждое число будет не меньше своего номера. Найдем сумму номеров всех чисел:

а) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21;

б) 1 + 2 + … + 100 = 5050.

(Последнюю сумму можно посчитать следующим способом: (1 + 100) + (2 + 99) + … + (50 + 51) = 50 · 101 = 5050.)

В обоих случаях эта сумма на единицу меньше суммы самих чисел. Значит, одно число на единицу больше своего номера, а остальные — равны ему. Числом, большим своего номера, может быть только последнее. Действительно, если какое-то число больше своего номера, то все последующие числа тоже больше своего номера.

Поэтому искомыми числами будут в пункте а) 1, 2, 3, 4, 5, 7; а в пункте б) — 1, 2, …, 99, 101.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 71.