а) Дано шесть натуральных чисел. Все они различны и дают в сумме 22. Найти эти числа.
б) Докажите, что других таких чисел нет.
в) Тот же вопрос про 100 чисел, дающих в сумме 5051.
Расположим числа в порядке возрастания. Тогда очевидно, что каждое число будет не меньше своего номера. Найдем сумму номеров всех чисел:
а) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21;
б) 1 + 2 + … + 100 = 5050.
(Последнюю сумму можно посчитать следующим способом:
В обоих случаях эта сумма на единицу меньше суммы самих чисел. Значит, одно число на единицу больше своего номера, а остальные — равны ему. Числом, большим своего номера, может быть только последнее. Действительно, если какое-то число больше своего номера, то все последующие числа тоже больше своего номера.
Поэтому искомыми числами будут в пункте а) 1, 2, 3, 4, 5, 7; а в пункте б) — 1, 2, …, 99, 101.
