СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505835

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, H — точка пересечения высот.

а) Докажите, что точки A, E, D и С лежат на одной окружности.

б) Известно, что радиус этой окружности равен 2, а радиус описанной окружности треугольника ABC равен 4. Найдите угол ABC.

Решение.

а) Поскольку треугольники AEC и ADC — прямоугольные, их центры описанных окружностей совпадают с серединой AC, а радиусы окружностей равны То есть это одна и та же окружность. Значит, все четыре точки лежат на одной окружности.

б) По усиленной теореме синусов в треугольнике ABC имеем откуда и

 

Ответ: 30°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 80.