Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505847

Дан треугольник ABC, где BA = 5, BC = 8. В треугольник вписана окружность, касающаяся стороны BC в точке Р. Известно, что ВР = 3. Найдите площадь треугольника ВМР, где М — точка касания окружности со стороной треугольника АВС.

Решение.

Случай 1. Пусть M принадлежит AB.

По свойству отрезков касательной к окружности MB=3,AM=2,AK=2,CK=5.

По теореме косинусов A{{C} в степени 2 }=A{{B} в степени 2 } плюс B{{C} в степени 2 } минус 2AB умножить на BC умножить на косинус B.

49=25 плюс 64 минус 2 умножить на 5 умножить на 8 косинус B;80 косинус B=40; косинус B= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ;B={{60} в степени \circ }.

S(BMP)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BM умножить на BP умножить на синус {{60} в степени \circ }= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 9 умножить на дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 9 корень из { 3}, знаменатель — 4 .

 

 

 

 

Случай 2. Пусть M принадлежит AС.

В данном случае BK=3,AM=2,AK=2,CM=5.

Найдем  синус \angle C по теореме синусов.

 дробь, числитель — синус B, знаменатель — AC = дробь, числитель — синус C, знаменатель — AB ; синус C= дробь, числитель — AB умножить на синус B, знаменатель — AC = дробь, числитель — 5 умножить на корень из { 3}, знаменатель — 2 умножить на 7 = дробь, числитель — 5 умножить на корень из { 3}, знаменатель — 2 умножить на 7 .

S(BMC)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на MC умножить на BC умножить на синус {{60} в степени \circ }= дробь, числитель — 5 умножить на 8 умножить на 5 корень из { 3}, знаменатель — 2 умножить на 14 = дробь, числитель — 50 корень из { 3}, знаменатель — 7 .

S(PMC)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на MC умножить на PC умножить на синус {{60} в степени \circ }= дробь, числитель — 5 умножить на 5 умножить на 5 корень из { 3}, знаменатель — 2 умножить на 14 = дробь, числитель — 125 корень из { 3}, знаменатель — 28 .

S левая круглая скобка BMP правая круглая скобка =S левая круглая скобка BMC правая круглая скобка минус S(PMC)= дробь, числитель — 50 корень из { 3}, знаменатель — 7 минус дробь, числитель — 125 корень из { 3}, знаменатель — 28 = дробь, числитель — 75 корень из { 3}, знаменатель — 28 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 9 корень из { 3}, знаменатель — 4 ; дробь, числитель — 75 корень из { 3}, знаменатель — 28 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 2.
Методы геометрии: Свойства касательных, секущих, Теорема косинусов, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур