Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505861

Дан треугольник АВС, в котором \angle ABC=\arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 . В треугольник вписана окружность, которая касается сторон AC, CB, BA в точках K, T и M соответственно. Прямая AT пересекает окружность в точке L, причем AL = 2. Найдите площадь треугольника, одна из сторон которого AT, а другая содержит точку касания окружностью треугольника АВС, если AK = 4.

Решение.

Задача требует найти площади треугольников АВТ и АСТ.

Ясно, что \angle ABC={{60} в степени \circ }.

По свойству секущей и касательной, проведенной из точки вне круга имеем:

AT умножить на AL=A{{M} в степени 2 }.AT= дробь, числитель — A{{M} в степени 2 }, знаменатель — AL =8.

Также заметим, что по свойству касательной к окружности будем иметь: АК = АМ = 4, ВМ = ВТ, СТ = КС.

 

Случай 1. Пусть BT = BM = x.

По теореме косинусов:

A{{T} в степени 2 }={{ левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка } в степени 2 } плюс {{x} в степени 2 } минус 2 умножить на левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка умножить на x умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ;{{x} в степени 2 } плюс 8x плюс 16 плюс {{x} в степени 2 } минус {{x} в степени 2 } минус 4x=64;{{x} в степени 2 } плюс 4x минус 48=0;

x= минус 2\pm корень из { 4 плюс 48}= минус 2\pm корень из { 52}= минус 2\pm 2 корень из { 13}.

Корень  минус 2 минус 2 корень из { 13} не подходит по смыслу задачи.

Значит, BT=BM=2 корень из { 13} минус 2=2 умножить на левая круглая скобка корень из { 13} минус 1 правая круглая скобка .

AB=4 плюс x=4 минус 2 плюс 2 корень из { 13}=2 плюс 2 корень из { 13}=2 умножить на левая круглая скобка корень из { 13} плюс 1 правая круглая скобка .

S левая круглая скобка ABT правая круглая скобка = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AB умножить на BT умножить на синус {{60} в степени \circ }= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 2 умножить на левая круглая скобка корень из { 13} плюс 1 правая круглая скобка умножить на 2 левая круглая скобка корень из { 13} минус 1 правая круглая скобка дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 = левая круглая скобка 13 минус 1 правая круглая скобка умножить на корень из { 3}=12 корень из { 3}.

Итак, S(ABT)=12 корень из { 3}.

 

Случай 2.

Пусть T= C = y.

Тогда по теореме косинусов A{{C} в степени 2 }=A{{B} в степени 2 } плюс B{{C} в степени 2 } минус 2 умножить на AB умножить на BC умножить на косинус {{60} в степени \circ }.

A{{C} в степени 2 }=A{{B} в степени 2 } плюс B{{C} в степени 2 } минус AB умножить на BC

или

{{ левая круглая скобка 4 плюс y правая круглая скобка } в степени 2 }={{ левая круглая скобка 2 корень из { 13} плюс 2 правая круглая скобка } в степени 2 } плюс {{ левая круглая скобка 2 корень из { 13} минус 2 плюс y правая круглая скобка } в степени 2 } минус левая круглая скобка 2 корень из { 13} плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 корень из { 13} минус 2 плюс y правая круглая скобка .

16 плюс 8y плюс {{y} в степени 2 }=

={{ левая круглая скобка 2 корень из { 13} плюс 2 правая круглая скобка } в степени 2 } плюс {{ левая круглая скобка 2 корень из { 13} минус 2 плюс y правая круглая скобка } в степени 2 } минус 2 левая круглая скобка 2 корень из { 13} плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 корень из { 13} минус 2 плюс y правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 корень из { 13} плюс 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2 корень из { 13} минус 2 плюс y правая круглая скобка ;

16 плюс 8y плюс {{y} в степени 2 }={{ левая круглая скобка 2 корень из { 13} плюс 2 минус 2 корень из { 13} плюс 2 минус y правая круглая скобка } в степени 2 } плюс 52 минус 4 корень из { 13} плюс 2 корень из { 13}y плюс 4 корень из { 13} минус 4 плюс 2y;16 плюс 8y плюс {{y} в степени 2 }=

{{ левая круглая скобка 4 минус y правая круглая скобка } в степени 2 } плюс 48 плюс 2 корень из { 13}y плюс 2y;

16 плюс 8y плюс {{y} в степени 2 }=16 минус 8y плюс {{y} в степени 2 } плюс 48 плюс 2 корень из { 13}y плюс 2y;8y плюс 8y минус 2 корень из { 13}y минус 2y=48;

(14 минус 2 корень из { 13})y=48; левая круглая скобка 7 минус корень из { 13} правая круглая скобка y=24;y= дробь, числитель — 24, знаменатель — 7 минус корень из { 13 }= дробь, числитель — 24 умножить на левая круглая скобка 7 плюс корень из { 13} правая круглая скобка , знаменатель — левая круглая скобка 7 минус корень из { 13 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 7 плюс корень из { 13} правая круглая скобка }= дробь, числитель — 24 умножить на левая круглая скобка 7 плюс корень из { 13} правая круглая скобка , знаменатель — 49 минус 13

= дробь, числитель — 24 умножить на левая круглая скобка 7 плюс корень из { 13} правая круглая скобка , знаменатель — 36 = дробь, числитель — 2 умножить на левая круглая скобка 7 плюс корень из { 13} правая круглая скобка , знаменатель — 3 = дробь, числитель — 14 плюс 2 корень из { 13}, знаменатель — 3 .

BC=x плюс y=2 корень из { 13} минус 2 плюс дробь, числитель — 14 плюс 2 корень из { 13}, знаменатель — 3 = дробь, числитель — 6 корень из { 13} минус 6 плюс 14 плюс 2 корень из { 3}, знаменатель — 3 = дробь, числитель — 8 корень из { 13} плюс 8, знаменатель — 3 = дробь, числитель — 8 умножить на левая круглая скобка корень из { 13} плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель — 3 .

S(ABC)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на AB умножить на BC умножить на синус {{60} в степени \circ }= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 2 умножить на левая круглая скобка 1 плюс корень из { 13} правая круглая скобка умножить на дробь, числитель — 8 левая круглая скобка корень из { 13} плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 4 умножить на {{ левая круглая скобка 1 плюс корень из { 13} правая круглая скобка } в степени 2 } умножить на корень из { 3}, знаменатель — 3 .

S(ATC)=S(ABC) минус S(ABT= дробь, числитель — 4 умножить на {{ левая круглая скобка 1 плюс корень из { 13} правая круглая скобка } в степени 2 } умножить на корень из { 3}, знаменатель — 3 минус 12 корень из { 3}= дробь, числитель — 4 умножить на левая круглая скобка 1 плюс 2 корень из { 13} плюс 13 правая круглая скобка умножить на корень из { 3} минус 36 корень из { 3}, знаменатель — 3 =

=4 корень из { 3} умножить на дробь, числитель — 14 плюс 2 корень из { 13} минус 9, знаменатель — 3 =4 корень из { 3} умножить на дробь, числитель — 5 плюс 2 корень из { 13}, знаменатель — 3 .

 

Ответ: 12 корень из { 3} или 4 корень из { 3} умножить на дробь, числитель — 5 плюс 2 корень из { 13}, знаменатель — 3 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 3.
Методы геометрии: Свойства касательных, секущих, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур