Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 505874

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство a плюс 2x плюс 5 корень из (2x плюс 1) больше минус (2ax плюс 3) верно для всех x из отрезка [0; 1,5].

Спрятать решение

Решение.

Сделаем замену  корень из (2x плюс 1) =t, тогда 2x=t в квадрате минус 1. Имеем:

a плюс t в квадрате минус 1 плюс 5t плюс a(t в квадрате минус 1) плюс 3 больше 0 равносильно (a плюс 1)t в квадрате плюс 5t плюс 2 больше 0. (*)

Причем значениям x из отрезка [0; 1,5] соответствуют t, лежащие в отрезке [1;2].

При a больше или равно минус 1 неравенство (⁎) верно, поскольку на отрезке [1;2] первое слагаемое в левой части неотрицательно, а другие положительны. Если  a меньше минус 1, то старший коэффициент квадратичной функции f(t)=(a плюс 1)t в квадрате плюс 5t плюс 2 отрицателен, а потому для того, чтобы функция f была положительной на [1;2] необходимо и достаточно одновременного выполнения неравенств f(1) больше 0, и f(2) больше 0. Тогда (a плюс 1) плюс 7 больше 0 и 4(a плюс 1) плюс 12 больше 0, то есть a больше минус 4. Учитывая условие  a меньше минус 1, находим:  минус 4 меньше a меньше минус 1. Объединяя со случаем a больше или равно минус 1, окончательно получаем: a больше минус 4.

 

Ответ: a больше минус 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a

ИЛИ

установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 5.
Классификатор алгебры: Неравенства с параметром