СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 505875

Есть набор чисел где Число A имеет вид где — различные числа p, k — среднее арифметическое всех чисел p, а — целая часть от числа x.

а) Найти наименьшее возможное и наибольшее возможное число A , если

б) Найдите наименьшее n, при котором число A больше 20.

в) Найдите при каком минимальном n, выполняется равенство

Решение.

Сначала упростим:

Числа будут целыми, если равно 4, 6, 8, 10,…Тогда

Тогда равно 4, 4,5, 5, 5,5, … Тогда равно 4, 4, 5, 5,…

а) В этом пункте равно 4, 6, 8, 10 и числа равны 4, 5, 6, 7. Среднее арифметическое этих чисел равно 5,5. А целая часть от среднего арифметического равна 5.

Таким образом, минимальное значение (помним, что должно быть целым!) равно а максимальное значение равно

б) Поскольку то Рассмотрим таблицу:

 

468101214161820222426
456789101112131415
44,555,566,577,588,599,5
445566778899

 

Ясно, что если n = 24, то условие выполняется

Проверкой убеждаемся, что при меньших условие не выполняется.

 

в) Ясно, что Изучая таблицу из пункта б), понимаем, что минимальное подходящее n равно 12.

 

Приведем другое решение пункта б)

Заметим, что последовательность возрастает, значит, максимум произведения достигается на произведении двух последних чисел последовательности Нетрудно заметить, что при этом значит, а равенство достигается при n кратном 4. Таким образом, неравенство будет верно для тех же n что и исходное неравенство, за исключением, возможно, одного меньшего. Решим последнее неравенство

 

Минимальное n удовлетворяющее последнему неравенству равно 24. Нетрудно проверить, что n = 23 не удовлетворяет исходному неравенству.

 

Ответ: а) 4 и 7; б) 24; в) 12.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 5.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии, Последовательности и прогрессии, Целая и дробная части числа