СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505877

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в основании которого лежит квадрат со стороной 1. На плоскости основания имеется квадрат CDKM. В этот квадрат вписана окружность, которая является основанием цилиндра с высотой, равной длине отрезка AA1. Найдите расстояние от середины основания цилиндра до точки пересечения диагоналей параллелепипеда, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 2.

Решение.

Прямые AC и B1D1 лежат в параллельных плоскостях, поэтому расстояние между этими прямыми есть расстояние между плоскостями, что совпадает с длиной ребра AA1 (то есть AA1 = 2). Точка пересечения диагоналей параллелепипеда (точка P) лежит на середине высоты параллелепипеда, поэтому расстояние от P до плоскости основания равно 1; точка P проецируется в центр основания ABCD (пересечение диагоналей N). Так как цилиндр вписан в квадрат, то центр его основания лежит в центре квадрата (пересечение диагоналей квадрата), поэтому остается просто найти гипотенузу OP в прямоугольном треугольнике OPN Катеты равны PN = 1,

NO = 0.5 + 0.5 = 1, тогда по теореме Пифагора получаем:

Расстояние от центра верхнего основания тоже

 

В задаче возможен и второй случай, когда цилиндр находится по другую сторону от основания CDMK. Тогда расстояние от центра верхнего основания CDMK все так же равно , а от нижнего теперь другое:

 

Ответ: и

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 6.
Классификатор стереометрии: Прямоугольный параллелепипед, Расстояние между точками, Цилиндр