СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505881

Дан прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами.

а) Могут ли стороны данного треугольника быть членами одной возрастающей геометрической прогрессии?

б) Докажите, что для любого натурального n большего 1, можно найти такие три числа, которые будут являться сторонами этого треугольника и членами одной арифметической прогрессии с разностью n.

Решение.

а) Пусть, для определенности, – знаменатель прогрессии. Тогда стороны треугольника в порядке возрастания равны По теореме Пифагора, получаем: Сократив на получаем уравнение Решая это уравнение, получим, что — число иррациональное, а значит тем более иррационально. С другой стороны, как отношение целочисленных сторон треугольника должно быть числом рациональным. Противоречие.

б) Воспользуемся известным равенством: Домножим его на Получим равенство Числа образуют арифметическую прогрессию с разностью и являются длинами сторон прямоугольного треугольника. Таким образом, все доказано.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 6.