≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505885

Дан прямоугольный треугольник MNK с катетами 5 и 12. Треугольник KNJ — равносторонний, причем точка J и точка M ледат по разные стороны от прямой NK. Найдите расстояние от центра вписанной окружности в MNK до центра вписанной в KNJ окружности.

Решение.

Докажем сначала лемму:

Пусть две точки лежат по разные стороны от прямой, расстояния от них до прямой равны и а расстояние между их проекциями на эту прямую равно d. Тогда расстояние между точками равно

Доказательство. Опустим из одной точки перпендикуляр на прямую и продлим его до пересечения с прямой, параллельной данной и проходящей через вторую точку. Тогда точка пересечения вместе с начальными двумя точками образуют прямоугольный треугольник, и утверждение леммы следует из теоремы Пифагора.

Вычислим радиусы вписанных окружностей треугольника MNK и равностороннего треугольника с данной стороной, а также отрезки, на которые стороны этих треугольников делятся точками касания с вписанной окружностью.

Если опустить из центра перпендикуляры на катеты, образуется квадрат со стороной 2, поэтому некоторые отрезки равны двум. Остальные равны и

Для равностороннего треугольника со стороной a радиус равен а все отрезки на сторонах равны

Перейдем к решению задачи. Возможны три случая — треугольник построен на меньшем катете, на большем катете, на гипотенузе. В каждом случае будем применять лемму и ужесделанные вспомогательные вычисления.

Если на меньшем катете, то а перпендикуляры на меньший катет падают на расстояниях 2 и от вершины прямого угла, и расстояние между ними будет По лемме расстояние получится

Если на большем катете, то а перпендикуляры на меньший катет падают на расстояниях 2 и 6 от вершины прямого угла, и расстояние между ними будет 4.

По лемме расстояние получится

Если на гипотенузе, то а перпендикуляры на меньший катет падают на расстояниях 3 и от вершины большего острого угла, и расстояние между ними будет По лемме расстояние получится

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 7.