≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505891

Четырехугольник KLMN вписан в окружность, его диагонали KM и LN пересекаются в точке F, причем KL = 8, MN = 4, периметр треугольника MNF равен 9, площадь треугольника KLF равна Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KNF.

Решение.

Поскольку и (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), треугольники LKF и MNF подобны с коэффициентом Пусть Тогда

Найдем по формуле Герона площадь треугольника KLF.

или

Будем пока считать, что

Найдем по теореме косинусов угол KFL:

тогда

Тогда по теореме косинусов в треугольнике KFN имеем откуда

Наконец, по усиленной теореме синусов

Заметим теперь, что если то и все наши вычисления дают радиус окружности, описанной около FLM, который подобен KFN с коэффициентом Значит, радиус окружности, описанной около KFN, равен

 

Ответ: или

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 8.