Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505891

Четырехугольник KLMN вписан в окружность, его диагонали KM и LN пересекаются в точке F, причем KL = 8, MN = 4, периметр треугольника MNF равен 9, площадь треугольника KLF равна 3 корень из { 15}. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KNF.

Решение.

Поскольку \angle LKF=\angle MNF и \angle KLF=\angle NMF (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), треугольники LKF и MNF подобны с коэффициентом  дробь, числитель — KL, знаменатель — MN =2. Пусть FN=x. Тогда MF=5 минус x, KF=2x, LF=10 минус 2x.

Найдем по формуле Герона площадь треугольника KLF.

3 корень из { 15}= корень из { 9 умножить на 1 умножить на (9 минус 2x) умножить на (2x минус 1)}, 15=(9 минус 2x)(2x минус 1), x=2 или x=3.

Будем пока считать, что x=2.

Найдем по теореме косинусов угол KFL:

64=16 плюс 36 минус 2 умножить на 4 умножить на 6 умножить на косинус \angle KFL, косинус \angle KFL= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 ,

тогда  косинус \angle KFN= дробь, числитель — 1, знаменатель — 4

Тогда по теореме косинусов в треугольнике KFN имеем KN в степени 2 =16 плюс 4 минус 2 умножить на 2 умножить на 4 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 , откуда KN=4.

Наконец, по усиленной теореме синусов

R_{KFN}= дробь, числитель — KN, знаменатель — 2 синус \angle KFN = дробь, числитель — 4, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — корень из { 15 , знаменатель — { 4}}= дробь, числитель — 8, знаменатель — корень из { 15 }.

Заметим теперь, что если x=3, то FL=4, и все вычисления дают радиус окружности, описанной треугольника около FLM, который подобен треугольнику KFN с коэффициентом  дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 . Значит, радиус окружности, описанной около KFN, равен  дробь, числитель — 12, знаменатель — корень из { 15 }.

 

Ответ:  дробь, числитель — 8, знаменатель — корень из { 15 } или  дробь, числитель — 12, знаменатель — корень из { 15 }.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 8.
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружности, Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Подобие