Найдите все целые значения для каждого из которых число
Будет рациональным.
Сразу заметим, что Кроме того,
так как
для всех
Из условия следует, что
где
— натуральные. Перепишем иначе:
или
Так как получаем, что
Докажем, что
В самом деле, разделим обе части равенства (1) на
получается, что
Левая часть — целое число, значит, и правая часть — целое число. Значит,
Теперь, заметим, что
— нечётное число, а значит, из равенства (1),
тоже нечётно. Значит,
нечётно. Пусть
Тогда получаем, что
То есть, дробь
является целым числом. Выделим целую часть:
не подходит,
— годится,
получаем, что
Таким образом, дробь
является целым числом лишь при
Отсюда
Ответ: 5.