Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505915

Найти высоту равнобедренного треугольника, проведенную его боковой стороне, равной 2, если синус одного его угла равен косинусу другого.

Решение.

Пусть углы этого треугольника равны \alpha, \alpha,  Пи минус 2\alpha. Возможны три варианта.

 

1)  синус \alpha= косинус ( Пи минус 2\alpha).

 синус \alpha= минус косинус 2\alpha, 2 синус в степени 2 \alpha минус синус \alpha минус 1=0.

 синус \alpha=1 или  синус \alpha= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , что невозможно в равнобедренном треугольнике.

2)  косинус \alpha= синус ( Пи минус 2\alpha).

 косинус \alpha=2 синус \alpha косинус \alpha,  косинус \alpha(1 минус 2 синус \alpha)=0.

 косинус \alpha=0 или  синус \alpha= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , откуда углы треугольника равны 30°, 30°, 120°.

Тогда высота к боковой стороне проходит снаружи и является большим катетом в прямоугольном треугольнике с углом 30° и гипотенузой 2, откуда его длина равна  корень из { 3}.

3)  синус \alpha = косинус \alpha. В этом случае треугольник является равнобедренным прямоугольным, а высота, проведенная к боковой стороне, является боковой стороной и равна 2.

 

Ответ: 2 или  корень из { 3}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 12.
Классификатор планиметрии: Треугольники