СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505931

Диагональ куба служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через вершины и Найдите величину этого угла.

Решение.

1) Координатно-векторный подход к решению задачи.

Нам требуется найти величину конкретного двугранного угла, а именно того двугранного угла, который образуется при пересечении двух плоскостей: и При пересечении двух плоскостей образуется четыре двугранного угла, по сути две пары равных между собой двугранных углов.

Угол между двумя плоскостями, а в нашем случае это — угол между плоскостями и будет вычислен как угол между нормальными векторами этих плоскостей и Обозначим его А угол между двумя векторами заведомо не больше чем

Поскольку при пересечении двух плоскостей, образуется, как сказано выше, две пары равных между собой двугранных углов, нам нужно будет выбрать, который угол будет искомым: угол или

Именно поэтому при вычислении угла между двумя плоскостями используют формулу:

 

Где и — соответствующие координаты нормальных векторов плоскостей.

Косинус угла между нормальными векторами плоскостей и в нашем случае получится положительным. Однако с учетом конкретной ситуации мы будем должны взять этот косинус с отрицательным знаком, поскольку искомый угол тупой.

Введем декартову систему координат как показано на рис. Ребро куба примем за 1.

Будем искать уравнения плоскостей и

Координаты нужных точек будут следующими:

Найдем уравнение плоскости

 

Итак, искомое уравнение имеет вид: или Координаты нормального вектора этой плоскости:

Найдем уравнение плоскости

 

Искомое уравнение имеет вид: или Координаты нормального вектора этой плоскости:

Так как искомый угол заведомо тупой, то

 

2) Элементарно-геометрический подход к решению. Проведем отрезки Пусть — линейный угол упомянутого двугранного угла, И пусть ребро куба равно 1. Тогда

Заметим, что поскольку

Рассмотрим

подобны, так как они прямоугольные, как углы, заключенные между взаимно перпендикулярными прямыми. Следовательно, Аналогично

В по теореме косинусов имеем:

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 15.