Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 505937
i

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S на сто­ро­нах AB и AC вы­бра­ны точки M и K со­от­вет­ствен­но так, что тре­уголь­ник AMK по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . На пря­мой MK вы­бра­на точка E так, что ME : EK  =  7 : 9. Найти рас­сто­я­ние от точки E до плос­ко­сти BSC, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 6, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом объ­е­мов.

Пусть O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, h_б  — её апо­фе­ма, h_0  — вы­со­та ос­но­ва­ния, D  — се­ре­ди­на BC. В со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи O лежит на от­рез­ке MK.

Вы­чис­лим не­ко­то­рые па­ра­мет­ры пи­ра­ми­ды:

h_0= дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , OD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , h_0= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , SD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SO конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс OD в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 плюс 3 конец ар­гу­мен­та =3, S левая круг­лая скоб­ка SBC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: BC умно­жить на SD, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6 умно­жить на 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =9, KM=BC умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6 умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =4.

Все тре­уголь­ни­ки с ос­но­ва­ни­ем BC и вер­ши­ной, при­над­ле­жа­щей пря­мой MK, рав­но­ве­ли­ки: S левая круг­лая скоб­ка BEC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: BC умно­жить на OD, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Тогда

V левая круг­лая скоб­ка SBEC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S левая круг­лая скоб­ка BEC пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на SO= дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

Если ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно \rho , то \rho = дробь: чис­ли­тель: 3V левая круг­лая скоб­ка SBEC пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: S левая круг­лая скоб­ка SBC пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 умно­жить на 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

 

Решим за­да­чу век­тор­но-ко­ор­ди­нат­ным ме­то­дом.

Вы­бе­рем де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке O. Най­дем ко­ор­ди­на­ты нуж­ных точек:

S левая круг­лая скоб­ка 0;0; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , C левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; минус 3;0 пра­вая круг­лая скоб­ка , B левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ;3;0 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Со­ста­вим урав­не­ние плос­ко­сти SBC в де­кар­то­вой си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та c плюс d=0 , новая стро­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та a минус 3b плюс d=0 , новая стро­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та a плюс 3b плюс d=0 . конец си­сте­мы .

Тогда

c= минус дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби , минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та a плюс 2d=0, a= дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , b=0.

Общее урав­не­ние плос­ко­сти имеет вид: дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби z плюс d=0 или ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x минус z плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та =0.

Для вы­чис­ле­ния ор­ди­на­ты точки E най­дем OE, ME, OM. ME= дробь: чис­ли­тель: KM умно­жить на 7, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4 умно­жить на 7, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , OM= дробь: чис­ли­тель: KM, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =2.

OE=OM минус ME=2 минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Итак, E левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Тогда

\rho = дробь: чис­ли­тель: \left| ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 0 плюс 0 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 1 умно­жить на 0 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та |, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс 0 плюс 1 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 16
Методы геометрии: Метод ко­ор­ди­нат, Метод объ­е­мов
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026