СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505943

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де с вер­ши­ной , со сто­ро­ной ос­но­ва­ния, рав­ной и бо­ко­вым реб­ром 5 найти угол между пря­мой и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны и и вер­ши­ну

Решение.

Решение:

Координатно-векторный способ решения.

Введем декартову систему координат, как показано на рисунке Найдем координаты нужных точек. Для вычисления аппликаты точки найдем Ясно, что

Составим уравнение плоскости

 

Уравнение плоскости будет иметь вид: или А нормальный вектор

Если искомый угол равен то

 

 

Элементарно-геометрический способ решения.

Поступим так: Угол между прямой и плоскостью , очевидно, равен углу между отрезком и названной плоскостью. А для нахождения синуса искомого угла достаточно:

1. Найти расстояние от точки до плоскости (При этом можно воспользоваться методом объемов).

2. Разделить на длину отрезка Это и будет синусом искомого угла.

Предварительно вычислим некоторые параметры заданной пирамиды.

Рассмотрим пирамиду

Это с одной стороны.

Но с другой стороны,

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 17.
Методы геометрии: Метод координат, Метод объемов
Классификатор стереометрии: Правильная четырёхугольная пирамида, Сечение, проходящее через три точки, Угол между прямой и плоскостью