СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C3 № 505950

Решите систему неравенств

Решение.

Рассмотрим первое неравенство. Найдем ограничения на

Разрешенные значения для первого неравенства: Найдем значения при которых числитель обращается в нуль, т. е. решения уравнения Уравнение решим методом рационализации:

Так как то 4 – единственный корень рассматриваемого уравнения. При числитель левой части первого неравенства положительна. Теперь нам надо найти значения при которых знаменатель будет положительным. Решениями неравенства является множество С учетом ограничений на решения первого неравенства системы:

Рассмотрим второе неравенство пока что только на множестве

Заметим, что при этих значениях значит,

С учетом полученного результата будем иметь:

Из-за ограниченности функции имеем: Значит,

т. е.

для всех т. е. на этом множестве выражение принимает только положительные значения. Следовательно, дальнейшее исследование второго неравенства сводится к решению более простого неравенства:

На рассматриваемом множестве также выполняется равенство значит,

Используя единый метод рационализации, получим:

Но для всех таких, что следовательно, значит, дальнейшая наша задача — рассмотрение неравенства на множестве

Так как то

На рассматриваемом множестве результат будет выглядеть так:

Для полноты решения докажем, что число 4, которое входит в решение первого неравенства, не удовлетворяет второму неравенству.

При

1) Докажем, что значение этого выражения отрицательно. Действительно,

 

(верное неравенство).

2)

3)

Произведение трех отрицательных чисел (левая часть второго неравенства) будет отрицательным. А это противоречит смыслу второго неравенства. Значит, число 4 не является решением системы.

Итак, решениями исходной системы является множество

 

Замечание.

Равенство для что было использовано при решении второго неравенства, легко выводимо. Для доказательства достаточно обе части равенства прологарифмировать по основанию

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 18.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Неравенства рациональные относительно показательной функции, Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства с модулями, Системы неравенств разного типа
Классификатор базовой части: 2.2.2 Рациональные неравенства, 2.2.9 Метод интервалов