СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505953

Требуется сделать набор гирек, каждая из которых весит целое число граммов, с помощью которых можно взвесить любой целый вес от 1 грамма до 55 граммов включительно даже в том случае, если некоторые гирьки потеряны (гирьки кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес — на другую).

а) необходимо подобрать 10 гирек, из которых может быть потеряна любая одна;

б) необходимо подобрать 12 гирек, из которых могут быть потеряны любые две. (В обоих случаях докажите, что найденный Вами набор гирек обладает требуемыми свойствами.)

Решение.

а) Рассмотрим первые десять чисел Фибоначчи (это члены последовательности, которая задается формулой: ). Это числа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Докажем, что набор гирек с такими весами удовлетворяет условию задачи. Ясно, что с помощью данных десяти гирек можно набрать любую массу от 1 до 55. Пусть теперь мы потеряли гирьку с номером Тогда из гирек можно набрать любую массу от 1 до

Добавим теперь гирю с номером Тогда получится набрать любую массу от 1 до Аналогично, добавляя по гирьке, можно набрать любую массу вплоть до 55. Если же потеряна самая тяжелая гиря, то можно набрать любой вес от 1 до

б) Рассмотрим теперь немного другую последовательность: Возьмем набор гирек, веса которых равны первым двенадцати членам этой последовательности: 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41. Такой набор удовлетворяет условию задачи. Доказательство аналогично пункту а).

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 18.