Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д5 C1 № 505954

а) Решите уравнение  дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 левая круглая скобка {{ косинус } в степени 2 }x плюс {{ косинус } в степени 2 }2x правая круглая скобка минус 1=2 синус 2x минус 2 синус x минус синус x умножить на синус 2x.

б) Найдите все корни на промежутке  левая квадратная скобка минус 1; дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Решение.

а) Умножим обе части уравнения на −2 и заменим выражения {{ косинус } в степени 2 }x и {{ косинус } в степени 2 }2x выражениями, тождественно равными 1 минус {{ синус } в степени 2 }x и 1 минус {{ синус } в степени 2 }2x соответственно. Правую часть уравнения перенесем в левую часть с изменением знака каждого слагаемого на противоположный:  минус 1 плюс {{ синус } в степени 2 }x минус 1 плюс {{ синус } в степени 2 }2x плюс 2 плюс 4 синус 2x минус 4 синус x минус 2 синус x умножить на синус 2x=0. Преобразуем левую часть последнего уравнения, выделяя при этом полный квадрат разности  синус 2x минус синус x:

({{ синус } в степени 2 }2x минус 2 синус 2x умножить на синус x плюс {{ синус } в степени 2 }x) плюс 4 синус 2x минус 4 синус x=0.

Далее будем иметь:

{{ левая круглая скобка синус 2x минус синус x правая круглая скобка } в степени 2 } плюс 4 умножить на левая круглая скобка синус 2x минус синус x правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка синус 2x минус синус x правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка синус 2x минус синус x плюс 4 правая круглая скобка =0.

Докажем, что ни при каких значениях x выражение  синус 2x минус синус x плюс 4 в нуль не обращается. Для этого достаточно оценить выражение сверху и снизу. Известно, что  минус 1 меньше или равно синус 2x меньше или равно 1,  минус 1 меньше или равно минус синус x меньше или равно 1. Эти неравенства одинакового смысла, следовательно, их можно сложить:  минус 2 меньше или равно синус 2x минус синус x меньше или равно 2. А теперь к каждой части последнего неравенства прибавим 4. Получим: 2 меньше или равно синус 2x минус синус x плюс 4 меньше или равно 6. Таким образом, мы убедились, что  синус 2x минус синус x плюс 4 больше 0 при любом значении переменной x. Следовательно, заданное уравнение равносильно уравнению  синус 2x минус синус x=0. Решим его:

 синус 2x минус синус x=0 равносильно 2 синус x умножить на косинус x минус синус x=0 равносильно синус x умножить на (2 косинус x минус 1)=0 равносильно совокупность выражений  новая строка синус x=0,  новая строка косинус x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка x= Пи n,  новая строка x=\pm дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .

б) Заметим, что  минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 меньше минус 1, так как  минус Пи меньше минус 2 (неравенство очевидное). Также легко убеждаемся в справедливости неравенства  дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 меньше дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 , поскольку 3 меньше Пи . В промежутке  левая квадратная скобка минус 1; дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 правая квадратная скобка лежит единственный корень уравнения  синус x=0, равный нулю. Отрезку  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка принадлежат два корня уравнения  косинус x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 :  минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 и  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 .

Однако  минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 меньше минус 1, так как  минус Пи меньше минус 3. Корень  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 будет искомым, поскольку  минус 1 меньше дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 меньше дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 .

То, что  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 больше минус 1 очевидно. Докажем, что  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 меньше дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 . Действительно,  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 меньше дробь, числитель — 3,15, знаменатель — 3 =1,05; 1,05 меньше дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 =1,5.

 

Ответ: а)  Пи n,n принадлежит Z ; \pm дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ; б) 0; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 19.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Использование косвенных методов, Формулы двойного угла
Спрятать решение · · Курс 80 баллов ·
Гость 28.03.2015 14:06

В этой части решения есть ошибка:

"Пра­вую часть урав­не­ния пе­ре­не­сем в левую часть с из­ме­не­ни­ем знака каж­до­го сла­га­е­мо­го на про­ти­во­по­лож­ный:..."

Далее в уравнении присутствует цифра 2. В следующем же шаге, после слов "Пре­об­ра­зу­ем левую часть по­след­не­го урав­не­ния, вы­де­ляя при этом пол­ный квад­рат раз­но­сти..." в уравнении двойки нет. Бесследно исчезнуть она не могла, следовательно, все последующее решение уравнения неверно.

Александр Иванов

Кроме цифры 2 там еще два раза встречалось -1

Может в этом причина загадочного исчезновения двойки?