Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505955

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S, точка M — середина ребра BS. Найдите площадь сечения, проведенного через прямую AM параллельно одной из диагоналей основания, указанная диагональ не принадлежит сечению. Стороны основания пирамиды равны 6 корень из { 2}, а высота пирамиды равна 9.

Решение.

Заметим, что сечение может быть параллельно только диагонали BD. (она не имеет общих точек с AM). Чтобы построить его проведем отрезок MN параллельно прямой BD так, что N принадлежит SD. Обозначим точку пересечения прямых MN и HS за O. (H — центр основания пирамиды). Проведем теперь прямую AO, она лежит в плоскости ASC и поэтому пересечет ребро SC в некоторой точке K. Четырехугольник AMKN — исходное сечение (действительно, он содержит прямую MN параллельную прямой BD).

Рассмотрим треугольник CSH и прямую OK и применим для них теорему Менелая:

 дробь, числитель — SK, знаменатель — KC умножить на дробь, числитель — CA, знаменатель — AH умножить на дробь, числитель — HO, знаменатель — OS =1 равносильно дробь, числитель — SK, знаменатель — KC умножить на 2 умножить на 1=1.

Значит,  дробь, числитель — SK, знаменатель — KC = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

Рассмотрим теперь треугольник ASC. Он равнобедренный, основание равно 6 корень из { 2} умножить на корень из { 2}=12, высота SH=9. Значит,

AS= корень из { 6 в степени 2 плюс 9 в степени 2 }=3 корень из { 13}.

Значит, SK= корень из { 13}. По теореме косинусов найдем

 косинус \angle ASC = дробь, числитель — AS в степени 2 плюс SC в степени 2 минус AC в степени 2 , знаменатель — 2AS умножить на SC = дробь, числитель — 5, знаменатель — 13 .

Теперь:

AK в степени 2 =AS в степени 2 плюс SK в степени 2 минус 2AS умножить на SK умножить на косинус \angle ASC=

=117 плюс 13 минус 2 умножить на 3 корень из { 13} корень из { 13} умножить на дробь, числитель — 5, знаменатель — 13 =100,

значит, AK=10. По теореме о трех перпендикулярах прямая AK перпендикулярна прямой BD, значит и AK перпендикулярна прямой MN. Кроме того, MN= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 BD=6. Поэтому:

S_{AMKN}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на AK умножить на MN= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 10 умножить на 6=30.

 

Ответ: 30.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 19.
Методы геометрии: Теорема Менелая, Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Площадь сечения, Построения в пространстве, Правильная четырёхугольная пирамида, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой