Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505959

Дана бесконечная последовательность чисел, в которой первый член равен 1, а каждый последующий в два раза меньше предыдущего.

а) Можно ли из данной последовательности выделить бесконечную геометрическую прогрессию, сумма членов которой равна  дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 ?

б) Можно ли из данной последовательности выделить бесконечную геометрическую прогрессию, сумма членов которой равна  дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 ?

Решение.

а) Рассмотрим прогрессию с первым членом  дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 и знаменателем  дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 . Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, её сумма равна  дробь, числитель — дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 , знаменатель — { 1 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 8 }= дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 .

б) Пусть первый член прогрессии это 2 в степени минус n , а знаменатель это 2 в степени минус k , где n,k — натуральные числа. Тогда по условию получаем уравнение:  дробь, числитель — 2 в степени минус n , знаменатель — 1 минус 2 в степени минус k = дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 . После преобразований получается равенство: 5 умножить на 2 в степени k . Если k = 1, то решений в натуральных числах нет, а если k больше 1, то 2 в степени k минус 1 нечетно, и не может иметь никаких простых делителей, кроме 5. Тогда 2 в степени k минус 1=5, что тоже невозможно.

 

Ответ: а) да; б) нет.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 19.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии