СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505967

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом А, равным 30°. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через меньший катет BC одного основания и середину гипотенузы противоположного основания призмы, если расстояние между основаниями призмы равно расстоянию от вершины А до искомого сечения и равно 6.

Решение.

Пусть точка — середина гипотенузы Построим заданное сечение ( — середина отрезка ), — проекция точки на плоскость нижнего основания призмы.

Поместим призму в декартову систему координат, как показано на рисунке.

Составим уравнение плоскости Поскольку сечение проходит через начало координат, значение в уравнении будет равно нулю. Сторона заданного треугольника лежит на оси , это значит, что в уравнении плоскости значение коэффициента а рано нулю. Итак, искомое уравнение будет иметь вид: Пусть Тогда

Выпишем координаты необходимых точек:

Для нахождения значений в и с достаточно подставить координаты точки в уравнение

Итак, искомое уравнение выглядит так: Разделим обе части уравнения на Получим:

или

Далее для вычисления значения используем формулу расстояния от точки до плоскости.

(не подходит по смыслу задачи).

Итак, ВС = 4. Очевидно, что (по свойству средней линии треугольника).

В прямоугольном треугольнике =

Для вычисления искомой площади заметим:

1) — трапеция по способу построения и с учетом условия задачи.

2) — наклонная к (), — проекция наклонной следовательно, по теореме о трех перпендикулярах.

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 21.
Методы геометрии: Метод координат, Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Площадь сечения, Прямая треугольная призма, Сечение -- трапеция