СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505983

Автобусные билеты имеют номера от 000000 до 999999. Билет называется счастливым, если сумма первых трех цифр его номера равна сумме последних трех его цифр. Докажите, что:

а) число всех счастливых билетов четно;

б) сумма номеров всех счастливых билетов делится на 999.

Решение.

а) Каждому счастливому билету поставим в соответствие билет, номер которого состоит из цифр, дополняющих соответствующие цифры номера исходного билета до девятки. Например, билет 239601 получит в пару билет 760398. Очевидно, парой к каждому счастливому билету является также счастливый билет. При этом никакой билет не получает в пару себя (цифра не может дополнять до девятки самое себя, поскольку 9 — нечетное число). Таким образом, мы получили разбиение всех счастливых билетов на пары.

б) Рассмотрим способ разбиения билетов на пары из пункта а). Сумма номеров билетов в каждой паре равна 999999 = 9 · 1001, значит, она делится на 999. Сложив эти попарные суммы, получим число, кратное 999.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 23.