СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 506043

Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на банках стали нечитаемыми, и только завхоз знает где что. Он может все это доказать (т. е. обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов на чашках. Докажите, что ему для этой цели

а) достаточно четырех взвешиваний;

б) недостаточно трех взвешиваний.

Комментарий. Отметим еще раз, что завхоз должен обосновать, что в какой банке находится для всех 80 банок.

Решение.

а) Для простоты рассуждений добавим мысленно одну банку массой ноль. Первое взвешивание завхоз организует так: на одну чашку кладет 27 самых тяжелых банок, а на другую — 27 самых легких. Получается максимально возможная разность. Остальные участники экспедиции должны признать, что разбиение на три группы произведено правильно: (27 тяжелых, 27 средних, 27 легких). Завхоз помечает банки буквами «т», «с», «л». Второе и следующие взвешивания организуются аналогично. Пусть банки после k-го взвешивания разбиты на 3k групп по 34 − k банок, помеченных некоторым k-буквенным словом из букв т, с, л. Из каждой группы берется треть самых тяжелых и треть самых легких; тяжелые кладутся на одну чашу весов, а легкие — на другую. В итоге, каждая треть каждой группы определяется однозначно и образует группу следующего ранга, а банки помечаются еще одной буквой «т», «с», или «л». После 4-го взвешивания группы будут состоять из одной банки, при этом все банки помечаются словом из 4-х букв. Такое слово однозначно указывает банку, и задача решена.

б) Пусть проведено три взвешивания. Каждая банка при первом взвешивании либо оказалась на той чашке весов, которая перевесила, либо на другой, либо вообще не взвешивалась. В зависимости от этого пометим каждую банку буквой «т», «л» или «с» (это значит, что банка не взвешивалась). Аналогичным образом ставим букву при втором и третьем взвешивании. Слов из трех букв всего 27, а банок 80, значит, найдутся по меньшей мере две банки с одинаковой подписью. Значит, мы не можем их различить, поэтому трех взвешиваний недостаточно.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 33.