Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 506059

В треугольнике ABC на стороне AB расположена точка K так, что AK : KB = 3 : 5. На прямой AC взята точка E так, что AE = 2CE. Известно, что прямые BE и CK пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника BOC равна 20.

Решение.

Разберем два случая.

1) Точка E лежит на отрезке AC, тогда EC:CA=1:3. По теореме Менелая для треугольника #ABE и прямой KOC имеем

 дробь, числитель — AK, знаменатель — KB умножить на дробь, числитель — BO, знаменатель — OE умножить на дробь, числитель — EC, знаменатель — CA =1,

откуда BO:OE=5. Тогда

S_{ABC}=3S_{EBC}=3 умножить на дробь, числитель — 6, знаменатель — 5 S_{BOC}=72.

2) Точка E лежит на прямой AC, на продолжении AC за точку C, тогда AC=CE. По теореме Менелая для треугольника BAE и прямой KCO имеем  дробь, числитель — BK, знаменатель — KA умножить на дробь, числитель — AC, знаменатель — CE умножить на дробь, числитель — EO, знаменатель — OB =1, откуда EO:OB=3:5. Тогда

S_{ABC}=S_{BCE}= дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 S_{BOC}=8.

 

Ответ: 8 или 72.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 36.
Методы геометрии: Теорема Менелая
Классификатор планиметрии: Треугольники