СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 506061

На плоскости даны 8 отрезков. Длина каждого отрезка является натуральным числом, не превосходящим 20. Пусть n – число различных треугольников, которые можно составить из этих отрезков. Один и тот же отрезок может использоваться для разных треугольников, но не может использоваться дважды для одного треугольника.

а) Может ли n = 60?

б) Может ли n = 55?

в) Найдите наименьшее возможное значение n, если среди данных отрезков нет трех равных.

Решение.

а) Ясно, что количество треугольников не может быть больше числа сочетаний из восьми по три, а

б) Пусть длины отрезков такие: 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 6. Тогда возможно ровно 55 треугольников (из 56 возможных сочетаний не годится только одно: 6, 14, 20. Для всех остальных неравенство треугольника выполнено).

в) Докажем, что не годится. Пусть длины отрезков равны Если ни одного треугольника составить нельзя, то Аналогично, значит, Тогда значит, Продолжая цепочку, получим: Значит, не меньше 21. Противоречие.

Приведем пример с Используя предыдущее рассуждение получаем такой набор:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 20. Единственный возможный треугольник — это 8, 13, 20.

 

Ответ: а) Нет; б) Да; в) 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 36.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства