Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 506065

В равнобедренном треугольнике ABC на прямой BC отмечена точка D так, что угол CAD равен углу ABD. Найдите длину отрезка AD, если боковая сторона треугольника ABC равна 5, а его основание равно 6.

Решение.

Проведем высоту BH. Тогда BH= корень из { 5 в степени 2 минус 3 в степени 2 }=4. Пусть \angle ABH=\alpha, тогда \angle ABC=2\alpha, \angle BAC=90 в степени circ минус \alpha меньше 2\alpha, так как BC меньше AC. Значит, \alpha больше 30 в степени circ.

Рассмотрим возможные положения точки D.

1) D лежит на продолжении BC за точку C. Тогда

\angle DAC=2\alpha, \angle ACD=180 в степени circ минус \angle BCA=90 плюс \alpha, \angle CDA=180 в степени circ минус \angle DAC минус \angle CAD=90 в степени circ минус 3\alpha меньше 0,

поэтому такой случай невозможен.

2) D лежит на отрезке BC. Тогда \angle DAC=2\alpha больше \angle BAC больше \angle DAC, поэтому такой случай невозможен.

3) D лежит на продолжении BC за точку B. Тогда

\angle DAC=180 в степени circ минус 2\alpha, \angle BAD=180 в степени circ минус 2\alpha минус \angle BAC=90 минус \alpha, \angle CDA=180 в степени circ минус \angle DAC минус \angle DCA=3\alpha минус 90 в степени circ больше 0.

Так что такой случай возможен.

Напишем тогда теорему синусов для треугольника BAD.

 дробь, числитель — AD, знаменатель — синус (180 в степени circ минус 2\alpha) = дробь, числитель — AB, знаменатель — синус (3\alpha минус 90 в степени circ) ,

 дробь, числитель — AD, знаменатель — синус 2\alpha = дробь, числитель — 5, знаменатель — минус косинус 3\alpha ,

AD= дробь, числитель — 10 синус \alpha косинус \alpha, знаменатель — 3 косинус \alpha минус 4 косинус в степени 3 \alpha .

Из треугольника BAH имеем  синус \alpha= дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 ,  косинус \alpha= дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 . Значит,

AD= дробь, числитель — 10 умножить на дробь, числитель — 12, знаменатель — 25 , знаменатель — { дробь, числитель — 12, знаменатель — 5 минус дробь, числитель — 256, знаменатель — 125 }= дробь, числитель — 600, знаменатель — 44 = дробь, числитель — 150, знаменатель — 11 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 150, знаменатель — 11 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 37.
Классификатор планиметрии: Треугольники