А, И, Б сидели на трубе. К ним стали по очереди подсаживаться другие буквы так, что порядковый номер очередной буквы в русском алфавите равнялся сумме цифр порядковых номеров двух предыдущих букв. Оказалось, что начиная с некоторого момента буквы стали циклически повторяться.
а) Какая буква (из числа циклически повторяющихся) встречается наиболее часто?
б) Может ли циклически повторяющийся набор состоять из одной буквы? Если да, указать эту букву.
а) Будем выписывать номера подсаживающихся на трубу букв: 1, 10, 2, 3, 5, 8, 13, 12, 7, 10, 8, 9, 17, 17, 16, 15, 13, 10, 5, 6, 11, 8, 10, 9, 10, 10, 2,... Теперь номера букв будут циклически повторяться. В цикле (10, 2, 3, 5, 8, 13, 12, 7, 10, 8, 9, 17, 17, 16, 15, 13, 10, 5, 6, 11, 8, 10, 9, 10) чаще всего встречается число 10, поэтому чаще всего будет повторяться буква И.
б) Пусть номер повторяющейся буквы имеет вид 10a+b. Тогда должно выполняться равенство 
Значит, номер буквы равен 18, это буква Р.
Ответ: а) И; б) да, Р.