Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 507262

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.

а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.

б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.

Спрятать решение

Решение.

а) По теореме о внешнем угле треугольника,

BOC = ∠BAO + ∠АBO = 2 · 30° = 60°.

Поэтому

\angle BEC плюс \angle BOC = 120 градусов плюс 60 градусов=180 градусов.

Значит, точки B, E, C, O лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы CBE и COE опираются на одну и ту же дугу, следовательно, ∠CBE = ∠COE.

б) По теореме косинусов,

BC= корень из BE в квадрате плюс CE в квадрате минус 2BE умножить на CE умножить на косинус 120 градусов = корень из 40 в квадрате плюс 24 в квадрате минус 2 умножить на 40 умножить на 24 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =8 корень из 25 плюс 9 плюс 15 = 8 умножить на 7 = 56.

Вписанные углы BEO и CEO опираются на равные хорды BO и CO, значит, EO — биссектриса угла BEC. Пусть M — точка её пересечения со стороной BC. По формуле для биссектрисы треугольника получаем:

EM= дробь: числитель: 2BE умножить на CE умножить на косинус дробь: числитель: \angle BEC, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: BE плюс CE конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на 40 умножить на 24 умножить на косинус 60 градусов, знаменатель: 40 плюс 24 конец дроби = 15.

По свойству биссектрисы треугольника  дробь: числитель: CM, знаменатель: BM конец дроби = дробь: числитель: CE, знаменатель: BE конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: 40 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , значит, CM= дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби BC= дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби умножить на 56=21, BM=35.

По теореме о произведении пересекающихся хорд EM · MO = BM · CM, откуда находим, что

MO= дробь: числитель: BM умножить на CM, знаменатель: EM конец дроби = дробь: числитель: 35 умножить на 21, знаменатель: 15 конец дроби =49.

Треугольники COM и AOK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому OK = OM. Следовательно, EK = EM + 2OM = 15 + 98 = 113.

 

Ответ: 113.

 

Примечание.

Зная длину отрезка СМ = 21, можно искать ME, применяя теорему косинусов к треугольнику СМЕ. Пусть в нем МЕ = х, тогда

 441= 24 в квадрате плюс x в квадрате минус 2x умножить на 24 умножить на косинус 60 градусов равносильно x в квадрате минус 24x плюс 135=0 равносильно совокупность выражений x=9,x=15. конец совокупности .

Поскольку треугольник СМЕ остроугольный, решение х = 9 постороннее. Посторонние корни появляются из-за того, что по стороне, прилежащему к ней углу и противолежащей данному углу стороне треугольник определен неоднозначно. Аналогично для треугольника BME: можно найти два корня уравнения на длину EM: 15 и 25, больший корень является посторонним.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 507262: 511418 Все

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства