Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 507262

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.

а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.

б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.

Решение.

а) По теореме о внешнем угле треугольника,

BOC = ∠BAO + ∠АBO = 2 · 30° = 60°.

Поэтому

\angle BEC плюс \angle BOC = 120 в степени circ плюс 60 в степени circ=180 в степени circ.

Значит, точки B, E, C, O лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы CBE и COE опираются на одну и ту же дугу, следовательно, ∠CBE = ∠COE.

б) По теореме косинусов,

BC= корень из { BE в степени 2 плюс CE в степени 2 минус 2BE умножить на CE умножить на косинус 120 в степени circ} = корень из { 40 в степени 2 плюс 24 в степени 2 минус 2 умножить на 40 умножить на 24 умножить на левая круглая скобка минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка }=8 корень из { 25 плюс 9 плюс 15} = 8 умножить на 7 = 56.

Вписанные углы BEO и CEO опираются на равные хорды BO и CO, значит, EO — биссектриса угла BEC. Пусть M — точка её пересечения со стороной BC. По формуле для биссектрисы треугольника получаем:

EM= дробь, числитель — 2BE умножить на CE умножить на косинус дробь, числитель — \angle BEC, знаменатель — 2 , знаменатель — { BE плюс CE} = дробь, числитель — 2 умножить на 40 умножить на 24 умножить на косинус 60 в степени circ, знаменатель — 40 плюс 24 = 15.

По свойству биссектрисы треугольника  дробь, числитель — CM, знаменатель — BM = дробь, числитель — CE, знаменатель — BE = дробь, числитель — 24, знаменатель — 40 = дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 , значит, CM= дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 BC= дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 умножить на 56=21, BM=35.

По теореме о произведении пересекающихся хорд EM · MO = BM · CM, откуда находим, что

MO= дробь, числитель — BM умножить на CM, знаменатель — EM = дробь, числитель — 35 умножить на 21, знаменатель — 15 =49.

Треугольники COM и AOK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому OK = OM. Следовательно, EK = EM + 2OM = 15 + 98 = 113.

 

Ответ: 113.

 

Примечание.

Зная длину отрезка СМ = 21, можно искать ME, применяя теорему косинусов к треугольнику СМЕ. Пусть в нем МЕ = х, тогда

 441= 24 в степени 2 плюс x в степени 2 минус 2x умножить на 24 умножить на косинус 60 в степени circ равносильно x в степени 2 минус 24x плюс 135=0 равносильно совокупность выражений x=9,x=15. конец совокупности .

Поскольку треугольник СМЕ остроугольный, решение х = 9 постороннее. Посторонние корни появляются из-за того, что по стороне, прилежащему к ней углу и противолежащей данному углу стороне треугольник определен неоднозначно. Аналогично для треугольника BME: можно найти две корня уравнения на длину EM: 15 и 25, больший корень является посторонним.


Аналоги к заданию № 507262: 511418 Все

Методы геометрии: Свойства биссектрис, Свойства хорд, Теорема косинусов, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства