Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 511418

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём \angle BEC=120 градусов.

а) Докажите, что \angle CBE = \angle COE.

б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 20 и CE = 12.

Спрятать решение

Решение.

а) По теореме о внешнем угле треугольника  \angle BOC=2 \angle BAO = 2 умножить на 30 градусов = 60 градусов. Поэтому \angle BEC плюс \angle BOC = 120 градусов плюс 60 градусов=180 градусов.

Значит, точки B, E, C, O лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы CBE и COE опираются на одну и ту же дугу, следовательно, \angle CBE = \angle COE.

б) По теореме косинусов

BC= корень из BE в квадрате плюс CE в квадрате минус 2BE умножить на CE умножить на косинус 120 градусов = корень из 20 в квадрате плюс 12 в квадрате минус 2 умножить на 20 умножить на 12 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = 28.

 

Вписанные углы BEO и CEO опираются на равные хорды BO и CO, значит, EO — биссектриса угла BEC. Пусть M — точка её пересечения со стороной BC. По формуле для биссектрисы треугольника получаем:

EM= дробь: числитель: 2BE умножить на CE умножить на косинус дробь: числитель: \angle BEC, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: BE плюс CE конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на 20 умножить на 12 умножить на косинус 60 градусов, знаменатель: 20 плюс 12 конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби

По свойству биссектрисы треугольника  дробь: числитель: CM, знаменатель: BM конец дроби = дробь: числитель: CE, знаменатель: BE конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 20 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби , значит, CM= дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби BC= дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби умножить на 28= дробь: числитель: 21, знаменатель: 2 конец дроби , BM= дробь: числитель: 35, знаменатель: 2 конец дроби .

По теореме о произведении пересекающихся хорд EM умножить на MO = BM умножить на CM, откуда находим, что MO= дробь: числитель: BM умножить на CM, знаменатель: EM конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 35, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 21, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 49, знаменатель: 2 конец дроби . Треугольники COM и AOK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому OK = OM. Следовательно, EK = EM + 2OM =  дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби плюс 49 = дробь: числитель: 113, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 113, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 507262: 511418 Все

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства