Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 511418

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём \angle BEC=120 в степени circ.

а) Докажите, что \angle CBE = \angle COE.

б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 20 и CE = 12.

Решение.

а) По теореме о внешнем угле треугольника  \angle BOC=2 \angle BAO = 2 умножить на 30 в степени circ = 60 в степени circ. Поэтому \angle BEC плюс \angle BOC = 120 в степени circ плюс 60 в степени circ=180 в степени circ.

Значит, точки B, E, C, O лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы CBE и COE опираются на одну и ту же дугу, следовательно, \angle CBE = \angle COE.

б) По теореме косинусов

BC= корень из { BE в степени 2 плюс CE в степени 2 минус 2BE умножить на CE умножить на косинус 120 в степени circ} = корень из { 20 в степени 2 плюс 12 в степени 2 минус 2 умножить на 20 умножить на 12 умножить на левая круглая скобка минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка } = 28.

 

Вписанные углы BEO и CEO опираются на равные хорды BO и CO, значит, EO — биссектриса угла BEC. Пусть M — точка её пересечения со стороной BC. По формуле для биссектрисы треугольника получаем:

EM= дробь, числитель — 2BE умножить на CE умножить на косинус дробь, числитель — \angle BEC, знаменатель — 2 , знаменатель — { BE плюс CE} = дробь, числитель — 2 умножить на 20 умножить на 12 умножить на косинус 60 в степени circ, знаменатель — 20 плюс 12 = дробь, числитель — 15, знаменатель — 2

По свойству биссектрисы треугольника  дробь, числитель — CM, знаменатель — BM = дробь, числитель — CE, знаменатель — BE = дробь, числитель — 12, знаменатель — 20 = дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 , значит, CM= дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 BC= дробь, числитель — 3, знаменатель — 8 умножить на 28= дробь, числитель — 21, знаменатель — 2 , BM= дробь, числитель — 35, знаменатель — 2 .

По теореме о произведении пересекающихся хорд EM умножить на MO = BM умножить на CM, откуда находим, что MO= дробь, числитель — BM умножить на CM, знаменатель — EM = дробь, числитель — дробь, числитель — 35, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 21, знаменатель — 2 , знаменатель — { дробь, числитель — 15, знаменатель — 2 }= дробь, числитель — 49, знаменатель — 2 . Треугольники COM и AOK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому OK = OM. Следовательно, EK = EM + 2OM =  дробь, числитель — 15, знаменатель — 2 плюс 49 = дробь, числитель — 113, знаменатель — 2 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 113, знаменатель — 2 .


Аналоги к заданию № 507262: 511418 Все

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства