Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 511418
i

Диа­го­наль AC пря­мо­уголь­ни­ка ABCD с цен­тром O об­ра­зу­ет со сто­ро­ной AB угол 30°. Точка E лежит вне пря­мо­уголь­ни­ка, причём \angle BEC=120 гра­ду­сов.

а)  До­ка­жи­те, что \angle CBE = \angle COE.

б)  Пря­мая OE пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD пря­мо­уголь­ни­ка в точке K. Най­ди­те EK, если из­вест­но, что BE = 20 и CE  =  12.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По тео­ре­ме о внеш­нем угле тре­уголь­ни­ка \angle BOC=2 \angle BAO = 2 умно­жить на 30 гра­ду­сов = 60 гра­ду­сов. По­это­му \angle BEC плюс \angle BOC = 120 гра­ду­сов плюс 60 гра­ду­сов=180 гра­ду­сов.

Зна­чит, точки B, E, C, O лежат на одной окруж­но­сти. Впи­сан­ные в эту окруж­ность углы CBE и COE опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу, сле­до­ва­тель­но, \angle CBE = \angle COE.

б)  По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

BC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: BE в квад­ра­те плюс CE в квад­ра­те минус 2BE умно­жить на CE умно­жить на ко­си­нус 120 гра­ду­сов конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 20 в квад­ра­те плюс 12 в квад­ра­те минус 2 умно­жить на 20 умно­жить на 12 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та = 28.

 

Впи­сан­ные углы BEO и CEO опи­ра­ют­ся на рав­ные хорды BO и CO, зна­чит, EO  — бис­сек­три­са угла BEC. Пусть M  — точка её пе­ре­се­че­ния со сто­ро­ной BC. По фор­му­ле для бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка по­лу­ча­ем:

EM= дробь: чис­ли­тель: 2BE умно­жить на CE умно­жить на ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: \angle BEC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: BE плюс CE конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 20 умно­жить на 12 умно­жить на ко­си­нус 60 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: 20 плюс 12 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби

По свой­ству бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка дробь: чис­ли­тель: CM, зна­ме­на­тель: BM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: CE, зна­ме­на­тель: BE конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 20 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , зна­чит, CM= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби BC= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на 28= дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , BM= дробь: чис­ли­тель: 35, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

По тео­ре­ме о про­из­ве­де­нии пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд EM умно­жить на MO = BM умно­жить на CM, от­ку­да на­хо­дим, что MO= дробь: чис­ли­тель: BM умно­жить на CM, зна­ме­на­тель: EM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 35, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 49, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Тре­уголь­ни­ки COM и AOK равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам, по­это­му OK = OM. Сле­до­ва­тель­но, EK = EM + 2OM = дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 49 = дробь: чис­ли­тель: 113, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 113, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 507262: 511418 Все

Методы геометрии: Свой­ства бис­сек­трис, Свой­ства хорд, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов, Тео­ре­ма си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026