Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 507379

Расстояние между центрами окружностей радиусов 2 и 8 равно 15. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность. Найдите её радиус.

Спрятать решение

Решение.

Пусть a — расстояние между центрами окружностей радиусов r и R, a ≥ r + R. Если общая внутренняя касательная касается окружностей в точках C и D, то

CD= корень из (a в квадрате минус (R плюс r) в квадрате ) .

Действительно, пусть O1 и O2 — центры окружностей радиусов r и R соответственно (см. рис.). Из точки O2 опустим перпендикуляр O2F на прямую O1C. Из прямоугольного треугольника O1FO2 находим, что

CD=O_2F= корень из (O_1O_2 в квадрате минус FO_1 в квадрате ) = корень из (a в квадрате минус (R плюс r) в квадрате ) .

Пусть x — радиус искомой окружности, O3 — её центр. Заметим, что прямая CD — либо общая внешняя касательная окружностей с центрами O3 и O2 (см. рис.), либо общая внешняя касательная окружностей с центрами O3 и O1 (см. рис.). В первом них этих случаев искомая окружность касается прямой CD в точке C, во втором — в точке D.

 

По доказанному CD= корень из (15 в квадрате минус (8 плюс 2) в квадрате ) =5 корень из (5) .

В первом случае CD — общая внешняя касательная к окружности с центрами O3 и O2, поэтому CD= корень из ((x плюс 8) в квадрате минус (8 минус x) в квадрате ) =4 корень из (2x) , значит, 4 корень из (2x) =5 корень из (5) , откуда x= дробь: числитель: 125, знаменатель: 32 конец дроби .

Во втором случае CD — общая внешняя касательная к окружностям с центрами O3 и O1, поэтому CD= корень из ((x плюс 2) в квадрате минус (x минус 2) в квадрате ) =2 корень из (2x) , откуда x= дробь: числитель: 125, знаменатель: 8 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 125, знаменатель: 32 конец дроби или  дробь: числитель: 125, знаменатель: 8 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 507379: 511423 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей