Расстояние между центрами окружностей радиусов 2 и 8 равно 15. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность. Найдите её радиус.
Пусть a — расстояние между центрами окружностей радиусов r и R, a ≥ r + R. Если общая внутренняя касательная касается окружностей в точках C и D, то
Действительно, пусть O1 и O2 — центры окружностей радиусов r и R соответственно (см. рис.). Из точки O2 опустим перпендикуляр O2F на прямую O1C. Из прямоугольного треугольника O1FO2 находим, что
Пусть x — радиус искомой окружности, O3 — её центр. Заметим, что прямая CD — либо общая внешняя касательная окружностей с центрами O3 и O2 (см. рис.), либо общая внешняя касательная окружностей с центрами O3 и O1 (см. рис.). В первом них этих случаев искомая окружность касается прямой CD в точке C, во втором — в точке D.
По доказанному 
В первом случае CD — общая внешняя касательная к окружности с центрами O3 и O2, поэтому 
значит, 
откуда 
Во втором случае CD — общая внешняя касательная к окружностям с центрами O3 и O1, поэтому 
откуда 
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |