За­ме­тим, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно сумме их ра­ди­у­сов. До­ка­жем сна­ча­ла сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние. Если a  — рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей ра­ди­у­сов r и общая внеш­няя ка­са­тель­ная ка­са­ет­ся окруж­но­стей в точ­ках A и B, то

Дей­стви­тель­но, пусть и   — цен­тры окруж­но­стей ра­ди­у­сов r и R со­от­вет­ствен­но (см. рис.). Из точек и опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры на пря­мую Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим, что

Пусть x  — ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти, C  — её точка ка­са­ния с пря­мой по до­ка­зан­но­му:

Если точка C лежит между A и B (см. рис.), то или Тогда от­ку­да Если точка C лежит на про­дол­же­нии от­рез­ка AB (см. рис.), то или Тогда от­ку­да

Ответ: или