ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задания Д18 C7 № 507501 Добавить в вариант

Найдите все тройки натуральных чисел k, m и n, удовлетворяющие уравнению $2 умножить на k!=m! минус 2 умножить на n!.$ Как обычно, $n!=1 умножить на 2 умножить на \ldots умножить на n).$

Спрятать решение

Решение.

Так как $m!=2 умножить на k! плюс 2 умножить на n!,$ то $n меньше m$ и $k меньше m.$ Возможны два случая.

1. Если $n меньше k,$ тогда $4 умножить на k! больше 2 умножить на k! плюс 2 умножить на n!=m!\geqslant (k плюс 1) умножить на k!,$ откуда $4 больше k плюс 1$ и $n меньше k\leqslant 2.$ Полученному условию удовлетворят только $n=1,$ тогда $k=2,$ откуда $m!=2 умножить на k! плюс 2 умножить на n! = 2 плюс 4 = 6,$ а значит, $m=3.$

2. Если $n\geqslant k,$ тогда $4 умножить на n!\geqslant 2 умножить на k! плюс 2 умножить на n!=m!\geqslant (n плюс 1) умножить на n!,$ откуда $4\geqslant n плюс 1$ и $k\leqslant n\leqslant 3.$ Далее перебором значений $1\leqslant n\leqslant 3,1\leqslant k\leqslant 3$ при условии $n \geqslant k$ ищем оставшиеся решения.

n	k	m! = 2k! + 2n!	m
3	3	24	4
3	2	16	нет решений
3	1	14	нет решений
2	2	8	нет решений
2	1	6	3
1	1	4	нет решений

Ответ: $k=1,n=2,m=3;k=n=3,m=4;k=2,n=1,m=3.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обосновано получен верный ответ.	4
Ответ правилен, и конечность перебора обоснована. Однако, при переборе допущены арифметические ошибки или пробелы.	3
Ответ правилен и получен конечным перебором. Однако, конечность перебора не обоснована.	2
Приведён хотя бы один из правильных наборов, и проверено, что при подстановке в уравнение получается верное числовое неравенство.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 507501: 511436 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · ·

Сообщить об ошибке · Помощь