Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 507512

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

|x минус a в квадрате плюс a плюс 2| плюс |x минус a в квадрате плюс 3a минус 1|=2a минус 3

имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).

Спрятать решение

Решение.

Разность выражений, стоящих под знаками модуля, совпадает с правой частью уравнения:

(x минус a в квадрате плюс 3a минус 1) минус (x минус a в квадрате плюс a плюс 2)=2a минус 3.

Сделаем замену: m=x минус a в квадрате плюс 3a минус 1, n=x минус a в квадрате плюс a плюс 2. Тогда уравнение имеет вид:

|m| плюс |n|=m минус n.

Это равносильно условию n\leqslant0 меньше или равно m. Получаем

x минус a в квадрате плюс a плюс 2\leqslant0 меньше или равно x минус a в квадрате плюс 3a минус 1 равносильно

 равносильно a в квадрате минус 3a плюс 1 меньше или равно x меньше или равно a в квадрате минус a минус 2.

Уравнение имеет корни, ни один из которых не принадлежит интервалу (4; 19) , только если правая граница отрезка решений не больше 4 или левая граница не меньше 19. Получаем

 система выражений a в квадрате минус 3a плюс 1 меньше или равно a в квадрате минус a минус 2,  новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl a в квадрате минус a минус 2\leqslant4, a в квадрате минус 3a плюс 1\geqslant19 \endarray. конец системы . равносильно система выражений 2a больше или равно 3, левая квадратная скобка \beginarrayl a в квадрате минус a минус 6\leqslant0, a в квадрате минус 3a минус 18\geqslant0 \endarray . конец системы . равносильно система выражений a больше или равно 1,5, новая строка левая квадратная скобка \beginarray l(a минус 3)(a плюс 2)\leqslant0, (a минус 6)(a плюс 3)\geqslant0 \endarray . конец системы . равносильно система выражений a больше или равно 1,5, новая строка левая квадратная скобка \beginarrayl a\leqslant минус 3, минус 2 меньше или равно a\leqslant3,a\geqslant6. \endarray . конец системы .

 

Ответ: a принадлежит [1,5;3]\cup[6; плюс принадлежит fty).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а.1
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а.2
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек.3
Обоснованно получен правильный ответ.4
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 507512: 507587 Все

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Гость 11.05.2015 00:39

ошибка в том, что по условию скобки (интервала) круглые, следовательно концы не включаем.

или я не прав? не могли бы объяснить?

Александр Иванов

Рассмотрим конкретный случай:

при a=3 решением исходного уравнения будет отрезок 1 меньше или равно x меньше или равно 4, т.е. корни есть и не один из корней не принадлежит промежутку (4; 19)

Гость 10.02.2016 12:24

Из равенства m-n не следует ли m<0<n?

Александр Иванов

нет.

Чтобы разность m-n была неотрицательной и равнялась сумме модулей, n должно быть неположительным, а m - неотрицательным