Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 507587

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

|x минус a в квадрате плюс 4a минус 2| плюс |x минус a в квадрате плюс 2a плюс 3|=2a минус 5

имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23].

Спрятать решение

Решение.

Разность выражений, стоящих под знаками модуля, совпадает с правой частью уравнения:

(x минус a в квадрате плюс 4a минус 2) минус (x минус a в квадрате плюс 2a плюс 3)=2a минус 5.

Сделаем замену: m = x минус a в квадрате плюс 4a минус 2, n = x минус a в квадрате плюс 2a плюс 3.

Тогда уравнение примет вид: |m| плюс |n|=m минус n.

Это равносильно условию n меньше или равно 0 меньше или равно m. Получаем:

x минус a в квадрате плюс 2a плюс 3\leqslant0 меньше или равно x минус a в квадрате плюс 4a минус 2 равносильно a в квадрате минус 4a плюс 2 меньше или равно x меньше или равно a в квадрате минус 2a минус 3.

Уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23], только если правая граница отрезка решений не меньше 5, а левая не больше 23. Получаем

 система выражений  новая строка a в квадрате минус 4a плюс 2 меньше или равно a в квадрате минус 2a минус 3, новая строка a в квадрате минус 2a минус 3 больше или равно 5, новая строка a в квадрате минус 4a плюс 2 меньше или равно 23 конец системы . равносильно система выражений  новая строка 2a больше или равно 5, новая строка a в квадрате минус 2a минус 8 больше или равно 0, новая строка a в квадрате минус 4a минус 21 меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка a больше или равно 2,5, новая строка (a минус 4)(a плюс 2) больше или равно 0, новая строка (a минус 7)(a плюс 3) меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений a больше или равно 2,5, совокупность выражений a меньше или равно минус 2, a больше или равно 4, конец системы . минус 3 меньше или равно a\leqslant7. конец совокупности

Таким образом, данное уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23] при a принадлежащем множеству [4; 7].

 

Ответ: [4; 7].

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а.1
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а.2
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек.3
Обоснованно получен правильный ответ.4
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 507512: 507587 Все

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром