Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.
а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.
б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?
в) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?
а) Пример: 1, 2, 3. Разность квадрата суммы и суммы квадратов равна 36 − 14 = 22. Если добавить число 4, то разность будет равна 100 − 30 = 70, что ровно на 48 больше, чем было.
б) Обозначим члены прогрессии a1, a2, ..., an. Тогда разность, вычиcленная математиком в первый раз, равна
Когда к прогрессии добавили член an+1, вычисленная во второй раз разность отличается от первой дополнительным слагаемым
где d — разность прогрессии.
Из условия следует, что 
и 
поэтому
Получаем неравенство 
откуда 
Значит, 12 членов в начальной прогрессии быть не может.
в) Из решения пункта б) следует, что
Из равенства 
следует, что n является делителем числа 1440. Значит, 
Пусть n = 10, получаем
Если 
то левая часть не меньше чем 
Следовательно, d = 1. Получаем уравнение 
которое не имеет целых решений.
Пусть n = 9, получаем
Если то левая часть не меньше чем 
Следовательно, d = 1. Тогда получаем уравнение 
которое не имеет целых решений.
Пусть n = 8, получаем:
Если то левая часть не меньше чем 
Следовательно, d = 1. Получаем уравнение 
которое имеет единственный натуральный корень 4.
Значит, прогрессия из восьми чисел 4, 5, 6, ..., 11 удовлетворяет условию задачи.
Ответ: а) 1, 2, 3; б) нет; в) 8.