СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 507588

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.

б) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?

в) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Решение.

а) Например, 2, 3. Разность квадрата суммы и суммы квадратов этих чисел равна 25 − 13 = 12. Если добавить число 4, то разность будет равна 81 − 29 = 52, что ровно на 40 больше, чем было.

б) Обозначим члены прогрессии a1, a2,..., an. Тогда разность, вычисленная математиком в первый раз, равна

Когда к прогрессии добавили член , то вычисленная во второй раз разность отличается от первой дополнительным слагаемым

где d — разность прогрессии.

Из условия следует, что и , поэтому

Получаем неравенство

откуда Значит, 13 членов в начальной прогрессии быть не может.

 

в) Из равенства следует, что n является делителем числа 1768 = 2 · 2 · 2  · 13  · 17. Наибольший делитель, меньший 13, равен 8. При n = 8 получаем

 

Если , то левая часть не меньше, чем Следовательно, d = 1. Получаем уравнение

которое имеет единственный натуральный корень 5. Значит, прогрессия из восьми чисел 5, 6, 7, ..., 12 удовлетворяет условию задачи.

 

Ответ: а) 2, 3; б) нет; в) 8.


Аналоги к заданию № 507513: 507588 515831 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии