ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д18 C7 № 507579 Добавить в вариант

Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющиеся решениями уравнения 3ⁿ − 2^m  =  1.

Спрятать решение

Решение.

Пусть n  — четное число $n=2k.$ Тогда $2 в степени m =3 в степени левая круглая скобка 2k правая круглая скобка минус 1= левая круглая скобка 3 в степени k минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 в степени k плюс 1 правая круглая скобка .$ Правая часть  — произведение двух последовательных четных чисел, каждое из которых является степенью числа 2. Значит, $3 в степени k минус 1=2$ и $3 в степени k плюс 1=4,$ откуда $k=1,$ и $n=2.$ При этом $2 в степени m =8,$ следовательно, $m=3.$

Пусть теперь n  — нечетное число. Все нечетные степени тройки $левая круглая скобка 3, 27, 243, ... правая круглая скобка$ делятся на 4 с остатком 3. Значит, $3 в степени n минус 1$ делится на 4 с остатком 2. Из равенства $2 в степени m =3 в степени n минус 1$ получаем, что в этом случае $m=1$ (если $m больше или равно 2,$ то $2 в степени m$ делится на 4 без остатка). При этом $3 в степени n минус 1=2,$ откуда $n=1.$

Ответ: $m=3, n=2$ или $m=n=1.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки.	3
Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 507574: 507579 511444 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь