ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 507589 Добавить в вариант

Найдите все значения а, при каждом из которых решения неравенства $|2x минус a| плюс 1 меньше или равно |x плюс 3|$ образуют отрезок длины 1.

Спрятать решение

Решение.

Перенесем единицу: $|2x минус a| меньше или равно |x плюс 3| минус 1.$

Построим схематично графики функций $y=|2x минус a|$ и $y=|x плюс 3| минус 1.$

На рисунке видно, что неравенство имеет решения только при $дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус 4$ или $дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно минус 2.$

1.   $система выражений a меньше или равно минус 8,|2x минус a| меньше или равно минус x минус 4 конец системы равносильно система выражений a меньше или равно минус 8,2x минус a меньше или равно минус x минус 4, 2x минус a больше или равно x плюс 4 конец системы равносильно система выражений a меньше или равно минус 8,x меньше или равно дробь: числитель: a минус 4, знаменатель: 3 конец дроби , x больше или равно a плюс 4. конец системы$

Решения образуют отрезок длины 1, если $дробь: числитель: a минус 4, знаменатель: 3 конец дроби минус левая круглая скобка a плюс 4 правая круглая скобка =1,$ откуда $a= минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 2 конец дроби .$

2.   $система выражений a больше или равно минус 4,|2x минус a| меньше или равно x плюс 2 конец системы равносильно система выражений a больше или равно минус 4,2x минус a меньше или равно x плюс 2, 2x минус a больше или равно минус x минус 2 конец системы равносильно система выражений a больше или равно минус 4,x меньше или равно a плюс 2, x больше или равно дробь: числитель: a минус 2, знаменатель: 3 конец дроби . конец системы$

Решения образуют отрезок длины 1, если $a плюс 2 минус дробь: числитель: a минус 2, знаменатель: 3 конец дроби =1,$ откуда $a= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $a= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,a= минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 2 конец дроби .$

Приведем другое решение (автор Александр Соколов).

Изобразим решение неравенства $|2x минус a| плюс 1 меньше или равно |x плюс 3|$ в системе координат $xOa.$

Прямые $a=2x$ и $x= минус 3$ разбивают плоскость на четыре части, в каждой из которых знаки выражений $левая круглая скобка 2x минус a правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка$ остаются постоянными.

знак выражения $левая круглая скобка 2x минус a правая круглая скобка$	$плюс$	$минус$	$минус$	$плюс$
знак выражения $левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка$	$плюс$	$плюс$	$минус$	$минус$
соответствующее неравенство	$a больше или равно x минус 2$	$a меньше или равно 3x плюс 2$	$a меньше или равно x минус 4$	$a\geqslant3x плюс 4$

Множество точек, являющееся решением неравенства, на рисунке выделены зелёным цветом.

Очевидно, что решения неравенства образуют отрезок длины 1 ровно два раза.

1 случай: отрезок ограничен прямыми $a=3x плюс 2$ (слева) и $a=x минус 2$ (справа).

Найдём соответствующее значение параметра a:

$a=3x плюс 2= левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2,$ откуда $x= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ и $a= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .$

2 случай: отрезок ограничен прямыми $a=x минус 4$ (слева) и $a=3x плюс 4$ (справа).

Найдём соответствующее значение параметра a:

$a=x минус 4=3 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 4,$ откуда $x= минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 2 конец дроби$ и $a= минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 2 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
Либо получен верный ответ, но при его обосновании допущены ошибки, либо обоснованно получен ответ, отличный от верного только из-за потери одного из значений параметра	3
Ответ неверен, но в решении представлена правильная графическая интерпретация или правильная аналитика	2
Ответ, возможно, отсутствует или неверен, но в решении с помощью верного рассуждения найдены промежутки, содержащие правильные значения параметра	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 507589: 507594 Все

Классификатор алгебры: Подвижная галочка

Методы алгебры: Использование косвенных методов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь